Моментная теория расчета тонкостенных оболочек. Элементы теории расчета тонких оболочек

ОБОЛОЧЕК ТЕОРИЯ

В теории упругости и строительной механике, основная цель к-рого состоит в описании напряжений н деформаций, возникающих под действием внешних нагрузок в оболочке. Оболочка - твердое , ограниченное двумя поверхностями, к-рое обладает малой по сравнению с другими характерными размерами толщиной. В О. т. рассматриваются и другие внешние воздействия, напр, тепловые.

В О. т. вводится гладкая g, наз. срединной, по обе стороны к-рой на расстоянии h(x)вдоль нор. . Наиболее распространенный вариант О. т. использует т. н. гипотезу Кирхгофа - Лява, согласно к-рой всякое нормальное к g волокно ( прямой, перпендикулярный к срединной поверхности) сохраняет после деформации свою прямолинейность, длину и нормальное положение к срединной поверхности. При этом предположении систему уравнений трехмерной теории упругости, описывающей перемещения точек оболочки как упругого твердого тела, сводят к системе трех дифференциальных уравнений с двумя независимыми переменными и - криволинейными координатами точки хнедефор-мированной срединной поверхности g. В общем случае эта система нелинейна. При дополнительных предположениях о малости деформаций и внешних нагрузок нелинейные члены могут быть отброшены. Задача сводится к решению линейной системы (см. , )

в к-рой - компоненты внешней нагрузки, - линейные дифференциальные операторы с коэффициентами, зависящими от геометрич. характеристик поверхности g, a u j (x)- искомые компоненты вектора перемещения точки срединной поверхности. Система (1) решается при четырех граничных условиях, к-рые зависят от характера закрепления края g. Операторы в (1) имеют специальный вид:

малый параметр стоит при старших производных. Система (1) является эллиптической в смысле Дуглиса-Ниренберга (см. ) и формально самосопряженной (см. ). При естественно возникающих граничных условиях система (1) порождает эллиптич. краевую задачу. Систему (1) принято наз. системой уравнений моментной О. т., поскольку при ее получении учитываются члены, содержащие изгибающие и крутящие моменты. При дополнительных предположениях указанными членами пренебрегают, что приводит к безмоментной (мембранной) О. т. Формально этот переход сводится к отбрасыванию в (1) членов, содержащих малый параметр . Безмоментная система

существенно проще, чем система (1). Все операторы в (2) не выше 2-го порядка. Порядок определителя главного символа (характеристич. полинома) в случае системы (2) равен 4, а в случае (1) равен 8.

Наличие малого параметра в (1) позволяет воспользоваться процедурой асимптотич. интегрирования (см. ). Если гауссова Ксрединной поверхности gположительна, то система (2) эллиптична и при условиях полного или частичного закрепления края вырождение моментной задачи в безмоментную при регулярно. Заметное расхождение решений возможно лишь в малой окрестности края (краевой эффект). При.картина вырождения моментной системы при существенно сложнее; переход от системы (1) к (2) может привести к значительным погрешностям не только у края g, но и всюду внутри. Используемая в О. т. асимптотич. интегрирования при нерегулярном вырождении еще (1982) не нашла математич. обоснования.

Безмоментная О. т. тесно связана с проблемой бесконечно малых изгибаний поверхностей. Существенный вклад в безмоментную О. т. и одновременно в теорию бесконечно малых изгибаний был внесен благодаря привлечению аппарата обобщенных аналитических функций (см. ).

Важной задачей О. т. является исследование устойчивости форм равновесия, с к-рой связана проблема определения критич. нагрузки. Эти задачи рассматриваются в линейной (точнее, использующей линеаризацию) и нелинейной постановках. Один из методов их решения в нелинейной постановке существенно использует теорию изгибаний (см. ).

В задачах статики эффективен метод комплексного представления уравнений О. т., позволяющий путем введения вспомогательных функций свести систему (1) к эквивалентной системе с характеристич. многочленом 4-го порядка (см. ).

Среди вопросов динамики, подвергшихся интенсивному математич. анализу, находится проблема свободных и вынужденных колебаний, совершаемых оболочкой. Методами асимптотич. интегрирования и спектральной теории операторов найдена спектра собственных частот и строение соответствующих форм свободных колебаний (см. , ).

В О. т. широко используются методы вычислительной математики. В случае разделяющихся переменных в статич. и динамич. задачах особенно эффективен метод прогонки, в случае оболочек произвольного очертания- метод конечных элементов.

Лит. : Алумяэ Н. А., Теория упругих оболочек и пластинок, в кн.: Механика в СССР за 50 лет, т. 3, Ы., 1972, с. 227-8В; Векуа И. Н., Обобщенные аналитические функции, М., 1959; Власов В. Э., Общая оболочек и ее приложение в технике, М.- Л., 1949; Гольденвейзер А. Л., Теория упругих тонких оболочек, 2 изд., М., 1976; Гольденвейзер А. Л., Лидский В. В., Товстик П. Е., Свободные колебания тонких упругих оболочек, М., 1979; Муштари X. М., Галимов К. 3., Нелинейная теория упругих оболочек, Казань, 1957; Новожилов В. В., Теория тонких оболочек, 2 изд., Л., 1962; Погорелов А. В., Геометрические методы в нелинейной теории упругих оболочек, М., 1967; Прочность. Устойчивость. Колебания. Справочник, т. 3, М., 1968.

В. Б. Лидский.

Математическая энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . И. М. Виноградов . 1977-1985 .

Смотреть что такое "ОБОЛОЧЕК ТЕОРИЯ" в других словарях:

теория оболочек безмоментная - Теория расчёта тонкостенных оболочек, не учитывающая влияния на их напряжённое состояние возникающих в оболочках изгибающих и крутящих моментов ввиду их незначительности [Терминологический словарь по строительству на 12 языках (ВНИИИС Госстроя… …

теория оболочек мoментная - Теория расчёта тонкостенных оболочек, учитывающая влияние изгибающих и крутящих моментов в приопорных зонах оболочки на её напряжённое состояние [Терминологический словарь по строительству на 12 языках (ВНИИИС Госстроя СССР)] Тематики… … Справочник технического переводчика

теория оболочек полумоментная - Теория расчёта тонкостенных оболочек, не учитывающая влияния на напряжённое состояние возникающих в оболочке продольных крутящих и изгибающих моментов и соответствующих им поперечных сил [Терминологический словарь по строительству на 12 языках… … Справочник технического переводчика

Теория расчёта тонкостенных оболочек, не учитывающая влияния на их напряжённое состояние возникающих в оболочках изгибающих и крутящих моментов ввиду их незначительности (Болгарский язык; Български) безмоментна теория на черупките (Чешский язык;… … Строительный словарь

Теория расчёта тонкостенных оболочек, учитывающая влияние изгибающих и крутящих моментов в приопорных зонах оболочки на её напряжённое состояние (Болгарский язык; Български) моментна теория на черупките (Чешский язык; Čeština) ohybová teorie… … Строительный словарь

Теория расчёта тонкостенных оболочек, не учитывающая влияния на напряжённое состояние возникающих в оболочке продольных крутящих и изгибающих моментов и соответствующих им поперечных сил (Болгарский язык; Български) полумоментна теория на… … Строительный словарь

Валентных орбиталей (ОЭПВО) один из подходов в химии, необходимый для объяснения и предсказания геометрии молекул. Согласно этой теории молекула всегда будет принимать форму, при которой отталкивание внешних электронных пар минимально… … Википедия

Одна из ядерно физических моделей, объясняющая структуру атомного ядра. Она аналогична теории оболочечного строения атома. В оболочечной модели атома электроны наполняют электронные оболочки, и, как только оболочка заполнена, значительно… … Википедия

теория ядерных оболочек - sluoksninė branduolio teorija statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. nuclear shell theory vok. Kernschalentheorie, f rus. оболочечная теория ядра, f; теория ядерных оболочек, f pranc. théorie des enveloppes nucléaires, f … Fizikos terminų žodynas

Конструктивные формы современных машин и сооружений чрезвычайно разнообразны. Выбор формы детали, узла или сооружения определяется многими факторами: их назначением, условиями работы, технологией изготовления, стоимостью, а также методами расчета. Одним из самых распространенных типов современных и перспективных конструкций являются тонкостенные оболочки. Тонкие пластины и оболочки находят исключительно широкое применение в конструкции самых разнообразных инженерных сооружений. По этой причине создание надежных совершенных конструкций непосредственно зависит от уровня развития теории тонких пластин и оболочек.

Тонкая оболочка может быть определена как тело, ограниченное двумя криволинейными поверхностями, расстояние между которыми мало по сравнению с другими размерами. Таким образом, для оболочечных конструкций характерна тонкостенность .

К оболочкам относятся, в частности, тонкостенные пространственные системы, очерченные по криволинейным поверхностям. Оболочки способны выдерживать разнообразные виды нагрузок и обеспечивать изоляцию от окружающей среды. Им можно придать обтекаемую форму и на их основе получить относительно легкие конструкции, что имеет огромное значение в авиакосмической промышленности

Снижение материалоемкости конструкции - важный фактор для многих машин и агрегатов. Выгодно это и в строительных сооружениях. Оболочки позволяют эффективно решать проблему минимизации массы.

В настоящее время оболочки можно видеть повсюду. Высотные здания и телебашни, спортивно-концертные комплексы, крытые стадионы и рынки, цистерны и резервуары, трубопроводы и градирни, самолеты и ракеты, надводные и подводные корабли, автомобили в существенной части состоят из оболочек. Транспортные конструкции характеризуются не только возможностью достижения высоких скоростей, аэродинамическим совершенством форм, грузоподъемностью. Они воплощают также идеи оптимальности, экономичности, весового совершенства.

Оболочки как элементы конструкций известны давно. Это и паровой котел, и водопровод в древнем Риме. С давних времен известны емкости для хранения жидкостей и зерна, криволинейные своды перекрытий в строительстве. Но решающую роль в самых различных областях современной техники оболочки стали играть последние несколько десятилетий.

Термин "оболочка" относится к числу перегруженных и в него можно вкладывать разный смысл. Далее под оболочками понимаются конструкции, способные выполнять силовые, эксплуатационные, технологические, архитектурные и эстетические функции.

При математическом моделировании с понятием оболочки в первую очередь связывается представление о геометрической поверхности . В механике деформируемого твердого тела и строительной механике классификация объектов (тел) основана на особенностях их формы и соотношении характерных размеров.

Принято различать и выделять элементы конструкций, один размер которых намного больше двух других. Это стержни, кольца, арки. Тела, у которых один размер намного меньше остальных, образуют класс оболочек и пластин.

Основная проблема теории тонких упругих оболочек состоит в сведении трехмерной задачи теории упругости к двумерной задачи. Таким образом, развитие общей теории тонких упругих пластин и оболочек идет по пути сведения трехмерных уравнений теории упругости к двумерным. Для решения этой проблемы предложено большое число методов, которые по классификации С.А. Амбарцумяна могут быть объединены в три группы: метод гипотез, метод разложения общих уравнений теории упругости по толщине оболочки и асимптотический метод. Все эти методы интенсивно развиваются, дополняя друг друга.

Список обозначений

a 1 , a 2 - криволинейные ортогональные координаты срединной поверхности S o оболочки на линиях главных кривизн; для оболочки вращения a 1 ─ продольная, a 2 -окружная координаты; z ─ координата по нормали

к S;

А 1 , А 2 -коэффициенты Лямэ; k 1 , k 2 -главные кривизны;

U, V, W- компоненты вектора перемещений произвольной точки оболочки;

u, v, w- компоненты вектора перемещений точек поверхности S o ;

q 1 , q 2 - углы поворота нормали

;

e jk - компоненты тензора деформаций;

E 11 , E 22 , E 12 - компоненты тангенциальной деформации на S: растяжения-сжатия по направлениям координат a 1 и a 2 и сдвиг;

K 11 , K 22 , K 12 - компоненты изгибной деформации: изменения главных кривизн и кручение;

T 11 , T 22 , S- тангенциальные внутренние усилия, приведенные к S o: усилия растяжения-сжатия и сдвига;

M 11 , M 22 , H- изгибающие и крутящий моменты;

Q 11 , Q 22 - перерезывающие силы;

q 1 , q 2 , q 3 - компоненты внешней поверхностной нагрузки, приведенные к S;

E, n- модуль Юнга и коэффициенты Пуассона материала оболочки;

y j -унифицированные обозначения основных независимых переменных в разрешающих системах обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ);

f j - операторы правых частей канонических систем ОДУ;

Рассмотрим элемент произвольной тонкой оболочки, пусть в дальнейшем

h- толщина оболочки, принимаемая в дальнейшем постоянной.

Обозначим через R 1 , R 2 - главные радиусы кривизны срединной поверхности оболочки S. R=min {R 1 , R 2 }.

Основным геометрическим параметром оболочки является параметр тонкостенности или относительная толщина, определяемый отношением e=h/R.

Принята достаточно условная классификация оболочек по ее толщине на тонкие, средней длины и толстые оболочки.

Будем считать оболочку тонкой, если ее относительная толщина значительно меньше единицы. Обычно оболочки считают тонкими при значении e<1/20. Значения 1/20 < e < 1/10 соответствуют оболочке средней толщины, а e > 1/10 - толстой оболочке.

Для незамкнутых оболочек можно задать характерный размер размер a. Тогда параметр тонкостенности можно определить как e = min (h/a, h/R).

Поверхность оболочки S, равноотстоящая от лицевых поверхностей S + и S - называется ее срединной поверхностью.

Криволинейные, ортогональные системы координат

Правило дифференцирования базисных векторов криволинейной ортогональной системы координат определяется следующим образом:

e s,t = - (H t,s /H s) e t - d st ÑH t

Ñ = e m (…), m / H m

Здесь H m - параметры Ляме координатной системы, имеющие вид

= (r , i) 2 ; Hi = ½ r , i ½ .

Здесь r , I - радиус - вектор произвольной точки тела оболочки. В частности:

e 1,1 = (H 1,1 /H 1) e 1 - (H 1,1 /H 1) e 1 - (H 1,2/ H 2) e 2 - (H 1,3 /H 3) e 3

e 1,2 = (H 2,1 /H 1) e 2 ; e 3,2 = (H 2,3 /H 3) e 2 ; H i (a 1 , a 2 , a 3)

Запишем условие совместности, которое в принятых обозначениях имеет вид:

(e 1,1), 2 = (e 1,2), 1

(e 1,2), 1 = ((H 2,1 /H 1) e 2), 1 = (H 2,1/ H 1), 1 e 2 + (H 2,1 /H 1) (H 1,2 /H 2) e 1 ;

(e 1,1), 2 = - [ (H 1,2/ H 2) e 2 + (H 1,3/ H 3) e 3 ], 2 =

= - (H 1,2 /H 2), 2 e 2 + (H 1,2 /H 2) ((H 2,1 /H 1) e 1 + (H 2,3 /H 3) e 3) -

(H 1,3 /H 3), 2 e 3 - (H 1,3 /H 3) (H 2,3 /H 3) e 2

Тогда, приравнивая коэффициенты при базисных векторах, получим.

Задача о расчете оболочек вращения наиболее просто ре­шается в том случае, когда возможно принять, что напряжения, возникающие в оболочке, постоянны по ее толщине, и, следовательно, изгиб оболочки отсутствует, т.е. . Теория оболочек, построенная в этом предположении, называетсябезмоментной теорией.

Можно показать, что при
поперечная силаQ обращается в нуль. В этом случае в нормальных сечениях оболочки действуют только нормальные усилия N s и N t , кото­рые могут быть определены из условий равновесия элемента оболочки.

Безмоментное напряженное состояние возникает в оболочке в том случае, когда оболочка не имеет резких переходов и жест­ких защемлений и, кроме того, не нагружена сосредоточенными силами и моментами. При наличии же перечисленных особенностей в местах крепления оболочки, резких изменений формы и местах приложения сосредоточенной нагрузки возникают повышенные на­пряжения изгиба. Более детальное исследование показывает, что этот изгиб носит местный характер, на достаточном удалении от перечисленных особых областей устанавливается безмоментное напряженное состояние (рис.7), и для расчета оболочки может быть применена безмоментная теория.

Рис.7. Зоны местного изгиба и

безмоментного напряженного состояния оболочки

Для определения напряжений в зонах местного изгиба и границ этих зон следует привлекать более точные (и более сложные!) методы моментной теории оболочек.

Будем полагать, что оболочка нагружена нормальным давле­нием, равномерно распределенным по поверхности оболочки или плавно меняющимся вдоль меридиана, края оболочки свобод­ны от защемлений, так что их поворот и перемещение по норма­ли не стеснены, толщина оболочки постоянна. Выполнение этих условий обеспечивает практически безмоментное напряженное со­стояние оболочки и позволяет применение методов безмоментной теории,

Основными уравнениями безмоментной теории оболочек для определения напряжений являются:

Уравнение Лапласа

, (3)

где R 1 и R 2 – главные радиусы кривизны оболочки, h – толщина оболочки;

Уравнение равновесия зоны оболочки, ограниченной па­раллельным кругом радиуса r :

, (4)

где – угол между осью вращения и нормалью к оболочке на границе зоны, P z – осевая равнодействующая внешней нагрузки на рассматриваемую часть оболочки (рис. 6).

В уравнениях (3), (4) и в последующем изложении значком * помечены величины, относящиеся к безмоментному напряженно-деформированному состоянию.

Рассматриваемая зона отделяется от оболочки нормальным коническим сечением с углом
при вершине, как показано на рис.8. Равнодействующая внешней нагрузки определяется интегралом

. (5)

В случае постоянного давления q = const выражение (5) принимает следующий простой вид:

, (6)

т.е. равнодействующая сил постоянного давления численно рав­на произведению величины давления на площадь проекции поверх­ности рассматриваемой зоны оболочки на плоскость, перпенди­кулярную оси вращения.

Рис.8. К условию равновесия зоны оболочки

Радиальные перемещения точек оболочки определяют на формуле:

. (7)

Угол поворота нормали к оболочке определяется выражением:

. (8)

Положительные направления радиальных перемещения углов поворота показаны на рис.9.

Рис.9. Положительные направления

радиальных перемещений и углов поворота

внутреннего избыточного давления происходит с образованием продольной трещины.

1.2. Балочная теория оболочек

1.2.1. Основные определения и допущения

Элементы планера летательного аппарата, как правило, представляют собой удлиненные тонкостенные оболочки цилиндрической или конической формы (фюзеляж, крыло и др.). Оболочка в этом случае чаще всего состоит из тонкой обшивки, подкрепленной продольным (лонжеронами, продольными стенками, стрингерами) и поперечным (нервюрами – в крыле и оперении, шпангоутами – в фюзеляже) силовым набором, который помогает оболочке воспринимать действующие на нее нагрузки. На рис. 1.5 схематично показаны основные силовые элементы крыла.

Верхний пояс лонжерона Стенка лонжерона

Рис. 1.5. Силовые элементы крыла

Воспользуемся данным выше определением срединной поверхности, т.е. поверхности, которая делит толщину обшивки пополам. Кривая, которая получается при пересечении срединной поверхности плоскостью, перпендикулярной продольной оси оболочки, называется к о н т у р о м п о п е р е ч н о г о с е ч е н и я.

Поперечное сечение оболочки может иметь контур (рис. 1.6):

− открытый;

− однозамкнутый;

− многозамкнутый.

а) открытый

б) однозамкнутый

в) многозамкнутый

Рис. 1.6. Виды контуров поперечных сечений оболочки

Рассматриваемые удлиненные тонкостенные оболочки воспринимают поперечные силы Q x , Q y , осевую силу N , изгибающие моменты M x , M y и крутящий момент M z (рис. 1.7), т.е. работают как стержни-балки. Поэтому теория, описывающая их работу, называется балочной. Данная теория справедлива для удлиненных оболочек регулярной конструкции, т.е. не имеющих резких перепадов жесткости по длине.

Рис. 1.7. Силовые факторы, действующие в поперечном сечении оболочки

Балочная теория оболочек основана на следующих допущениях и гипоте-

1. Контур поперечного сечения оболочки считается недеформируемым в своей плоскости. Это допущение основано на том, что реальные конструкции имеют, как правило, достаточно частый поперечный набор из нервюр или шпангоутов.

2. Относительные линейные деформации ε z вдоль продольной оси оболочки (оси z на рис. 1.7) в любом поперечном сечении оболочки распределяются по закону плоских сечений, т.е. не учитывается известная из дисциплины «Сопротивление материалов» д е п л а н а ц и я сечения. Для сечений, находящихся далеко от заделки, это считается допустимым.

3. Действующие на оболочку нагрузки в каждом поперечном сечении сводятся к следующим силовым факторам:

− осевой силе N ;

− поперечным силам Q x , Q y ;

− изгибающим моментам M x , M y ; − крутящему моменту M z .

4. Продольные подкрепляющие обшивку элементы (пояса лонжеронов, стрингеры) работают только на растяжение-сжатие, т.е. воспринимают только

нормальные напряжения σ z , которые вызваны действием изгибающих моментов

M x , M y и осевой силы N . При этом считается, что нормальные напряжения σ z равномерно распределены по сечению элемента.

5. Нормальные σ z и касательные τ напряжения по толщине обшивки распределены равномерно. Это допущение основано на том, что толщина обшивки мала по сравнению с размерами сечения, вследствие чего ее можно считать безмоментной оболочкой. Если толщина обшивки также мала по сравнению с размерами поперечных сечений продольных элементов, то можно ввести допущение о том, что обшивка вообще не работает на растяжение-сжатие от действия изгибающих моментов M x , M y и осевой силы N , т.е. в ней не возникают нор-

мальные напряжения σ z . В этом случае изгибающие моменты M x , M y и осевая сила N воспринимаются только продольными элементами, а обшивка работает только на сдвиг от действия поперечных сил Q x , Q y и крутящего момента M z ,

т.е. в ней возникают только касательные напряжения τ . Если же толщина обшивки значительна по сравнению с размерами поперечных сечений продольных элементов, то ее работой на растяжение-сжатие пренебрегать не следует. В этом случае обшивку можно привести к продольным элементам путем условной замены сечения оболочки системой сосредоточенных площадей, состоящих из площадей сечений продольных элементов с присоединенными площадями участков обшивки, расположенных между продольными элементами (рис. 1.8а). Но можно применить и другую расчетную схему, в которой наоборот площади поперечных сечений продольных элементов равномерно распределяются по контуру поперечного сечения оболочки (рис. 1.8б). В этом случае обшивка условно становится толще, что сказывается на величине нормальных напряже-

ний σ z , действующих в ней. При расчете же касательных напряжений τ , действующих в обшивке, необходимо учитывать только реальную толщину обшивки, без условного утолщения за счет продольных элементов.

Рис. 1.8. Виды расчетных схем тонкостенных подкрепленных оболочек

6. Напряжения в элементах подкрепленной тонкостенной оболочки определяются законом Гука, т.е. не выходят за предел пропорциональности.

7. Считается, что элементы оболочки не теряют устойчивости.

1.2.2. Определение нормальных напряжений

Редуцирование сечения по материалу

Если все элементы оболочки выполнены из одного материала с модулем упругости E , то нормальные напряжения σ z ввиду принятого выше допущения о

распределении относительных линейных деформаций ε z по закону плоских сечений вычисляются по формуле

σz =E εz .

Однако реальные конструкции часто имеют в своем составе элементы из разных материалов. При расчете таких оболочек все элементы обычно приводятся к одному материалу. Эту операцию приведения называют р е д у ц и р о - в а н и е м с е ч е н и я п о м а т е р и а л у.

Редуцирование производится следующим образом. Пусть в сечении оболочки имеется некий i -й элемент с модулем упругости E i , отличным от модуля упругости E , одинакового для всех остальных элементов. Произведем условную замену этого элемента фиктивным редуцированным элементом с модулем упругости E таким образом, чтобы усилия в действительном и в редуцирован-

где σ i ,σ i р – нормальные напряжения в действительном и в редуцированном

элементах соответственно;

F i , F i р – площади поперечных сечений действительного и редуцирован-

ного элементов соответственно.

Кроме того, должны быть равны относительные линейные деформации действительного и редуцированного элементов

	i р								σ i р
Введем р е д у к ц и о н н ы й	к о э ф ф и ц и е н т по материалу
		ϕi =
Тогда в соответствии с (1.23) можно записать
	ϕi =		σ i р

Отсюда, учитывая (1.22), получим формулу для определения площади редуцированного элемента

F i р =ϕ i F i.

Отметим, что в качестве материала приведения может быть выбран материал любого элемента оболочки или некоторый несуществующий фиктивный материал.

После выполнения приведения сечения к одному материалу можно перейти непосредственно к расчету нормальных напряжений.

Формула для нормальных напряжений

Осевая сила N во всех точках поперечного сечения оболочки вызовет одинаковые напряжения

	σz (z , s )=

где s – криволинейная координата, которая отсчитывается по контуру поперечного сечения оболочки от некоторой начальной точки (рис. 1.7);

F – площадь поперечного сечения оболочки.

Из дисциплины «Сопротивление материалов» известно, что при воздействии только изгибающего момента, например, M x нормальные напряжения можно определить по формуле

σz (z , s )=

где I x – момент инерции поперечного сечения оболочки относительно оси x (рис. 1.7);

y – ордината точки контура поперечного сечения оболочки, где вычисляются напряжения.

В случае сложного нагружения, когда в поперечном сечении оболочки действуют как осевая сила N , так и изгибающие моменты M x и M y , нормальные напряжения можно определить по формуле

	σz (z , s )=				y−

Геометрические характеристики сечения, входящие в выражения (1.27) – (1.29), вычисляются по следующим формулам

F = ∫ δ ds; I x = ∫ δ y2 ds; I y = ∫ δ x2 ds,

где δ – толщина обшивки.

1.2.3. Определение касательных напряжений Формула для потока касательных сил

В соответствии с принятыми выше допущениями при поперечном изгибе

и кручении оболочки в ее обшивке возникают касательные напряжения, направленные вдоль контура поперечного сечения оболочки и равномерно распределенные по толщине обшивки. В этом случае удобно пользоваться п о т о -

к о м к а с а т е л ь н ы х с и л

q =τ δ.

Выведем формулу для определения потока касательных сил.

Выделим из обшивки элемент с размерами dsdz (рис. 1.9а) и рассмотрим его равновесие при неизменной осевой силе (N = const) (рис. 1.9б).

σz δ

∂ q

∂ s

∂σz

σz δ+

δ dz

∂ z

Рис. 1.9. К рассмотрению равновесия элемента обшивки

Найдем проекции всех действующих на этот элемент сил на ось z

(σz +

∂σz

dz ) δ ds −σz δ ds +(q +

∂ q

ds) dz− q dz= 0.

∂ z

∂ s

После элементарных преобразований получим

∂σz

∂ q

∂ z

∂ s

Найдем из этого уравнения поток касательных сил q путем интегрирова-

ния по дуге контура s от произвольно взятой точки, в которой s = 0

∂σz

q (s , z )=−∫ 0

δ ds +q 0 (0, z ).

∂ z

где q 0 (0, z ) – значение потока касательных сил в точке начала отсчета (s = 0). Чтобы найти частную производную ∂σ ∂ z z , стоящую в подынтегральном

выражении в формуле (1.34), продифференцируем выражение для нормальных напряжений (1.29)

∂σz

∂ M x

∂ M y

∂ z

∂ z

∂ z

Из дисциплины «Сопротивление материалов» известно, что

∂ M x

Q y ;

∂ M y

=−Q x .

∂ z

∂ z

С учетом этого перепишем выражение (1.35)

∂σz

∂ z

17 Полученное выражение подставим в (1.34)

	q =−		∫ y δ ds−		∫ x δ ds+ q0 .
		I x 0		I y 0

Здесь интегралы представляют собой статические моменты отсеченной части контура (участка контура на дуге от 0 до s )

Sотс x (s)= ∫ y δ ds; Sотс y (s)= ∫ x δ ds.
Введем обозначения:								S отс
q Qx=−					; q Qy =−

где q Qx , q Qy – потоки касательных сил от действия поперечных сил Q x и Q y со-

ответственно.

Тогда выражение (1.38) можно переписать следующим образом:

q = q Qx + q Qy + q 0 . (1.41) Следует отметить, что знаки статических моментов S отс x и S отс y зависят от

знаков координат x и y , а также от принятого начала отсчета криволинейной координаты s . Знак потока касательных сил q Q определяется знаками попереч-

ных сил Q x , Q y и знаками статических моментов S отс x , S отс y . При этом положитель-

ный поток касательных сил q Q совпадает по направлению с направлением обхода контура. За положительное направление обхода контура обычно принимается направление против часовой стрелки.

После определения потока касательных сил q можно найти касательные напряжения, используя выражение (1.31)

τ=q .

Определение потока касательных сил в оболочках с открытым контуром поперечного сечения. Центр изгиба

Рассмотрим оболочку с открытым контуром поперечного сечения произвольной формы (1.10). Криволинейную координату s будем отсчитывать от свободного края оболочки (точка A ). Пусть осевая сила отсутствует (N = 0). Тогда край оболочки будет свободен от нагрузки, а это значит, что поток касательных сил в точке A будет равен 0, т.е. q 0 = 0. Следовательно, поток касательных сил q

в соответствии с формулой (1.41) будет определяться только потоками q Qx и q Qy

						S отс
q =q Q =q Qx +q Qy =−

Из полученного выражения следует, что поток касательных сил в сечении оболочки с открытым контуром поперечного сечения не зависит от величины крутящего момента M z . Это говорит о том, что в оболочках с открытым конту-

ром отсутствуют внутренние усилия, уравновешивающие крутящий момент.
Следовательно, такие оболочки не воспринимают крутящий момент и представ-
ляют собой в этом случае нагружения геометрически изменяемую систему.
				qQ ds
Рис. 1.10. К определению потока касательных сил в оболочках с открытым
	контуром поперечного сечения

Представляет интерес точка, через которую проходит равнодействующая потока касательных сил, действующих в сечении. Найдем ее координаты x * и y *. Для этого составим уравнения моментов относительно любой оси, параллельной оси z . Эта ось оставит в плоскости (x , y ) след в виде точки P(x P , y P ) , ко-

где ρ=ρ(s ) – расстояние от полюса до касательной в текущей точке контура, т.е. плечо элементарной касательной силы q Q ds (рис. 1.10).

			S отс
Поскольку q Qy =−				(формулы 1.40), то
		Q y (x * −x P )=−						∫ Sотс x ρ ds.
							I x (s)
			x * =−			∫ S x отс ρ ds+ xP .
					I x (s)

Для силы Q x аналогично получим

y * =−		∫ Sотс y ρ ds+ yP .
	I y (s)
Точка с координатами (x *, y *) называется ц е н т р о м			и з г и б а (ц.и.)

(рис. 1.10) или ц е н т р о м ж е с т к о с т и (ц.ж.). Как видно из формул (1.46) и (1.47), положение этой точки не зависит от действующих нагрузок и определяется только геометрическими характеристиками сечения. Совокупность центров изгиба сечений по длине оболочки образует о с ь и з г и б а или о с ь ж е с т к о с т и.

Если линия действия поперечной силы проходит через центр изгиба оболочки с открытым контуром, то оболочка будет испытывать только поперечный изгиб. При этом в ее обшивке будет возникать соответствующий поток касательных сил. Если же линия действия поперечной силы проходит не через центр изгиба рассматриваемой оболочки, то она дополнительно создает крутящий момент относительно центра изгиба. Данный момент, как было указано выше, теоретически не может быть воспринят оболочкой, поскольку соответствующий поток касательных сил в оболочке с открытым контуром не возникает. На практике это означает, что при таком приложении нагрузки оболочка скорее всего будет разрушена или, по крайней мере, получит недопустимые деформации.

Определение потока касательных сил в оболочках с однозамкнутым контуром поперечного сечения

Рассмотрим оболочку с однозамкнутым контуром поперечного сечения, нагруженную поперечными силами Q x , Q y и крутящим моментом M z (рис. 1.11).

Рис. 1.11. Нагружение оболочки с однозамкнутым контуром поперечного сечения

Для определения потока касательных сил в оболочках данного типа используют следующий прием. Оболочка условно разрезается вдоль образующей

в произвольном месте поперечного сечения (рис. 1.12). Рассматриваемая оболочка превращается, таким образом, в оболочку с открытым контуром поперечного сечения. Место разреза служит началом отсчета статических моментов отсеченной части поперечного сечения (s = 0).

Рис. 1.12. Условное превращение оболочки с однозамкнутым контуром поперечного сечения в оболочку с открытым контуром

Однако поскольку разрез был сделан условно, то считать, что q 0 = 0, как

было в предыдущем случае, нельзя. В общем случае q 0 должен быть отличен от нуля и иметь постоянное значение (q 0 = const). Поэтому полный поток касатель-

Поток касательных сил q Q можно определить как для открытого контура по формуле (1.43), а для определения потока касательных сил q 0 необходимо составить уравнение моментов относительно произвольно выбранного полюса P с координатами (x P , y P ) (рис. 1.13).

Уравнение крутящего момента в данном случае будет иметь вид

	M кр = M z − Q y (xP − xQ )+ Qx (yP − yQ )= qρ ds.
	Из уравнения (1.48) с учетом того, что q 0 = const, следует
	q ρ ds= qQ ρ ds+ q0 ρ ds.
	Из уравнений (1.49) и (1.50) получим
				M кр		qQ ρ ds
			ρ ds			ρ ds

Интеграл ρ ds имеет следующий геометрический смысл. Из рис. 1.13

видно, что подынтегральное выражение ρ P , y P )

x Q Q y

Рис. 1.13. К определению потока касательных сил q 0 в оболочке с однозамкнутым контуром поперечного сечения

ω= 1 2 ρds

Рис. 1.14. К определению площади контура поперечного сечения оболочки

С учетом этого перепишем формулу (1.51)
q0 =	M кр				qQ ρ ds
Если в поперечном сечении оболочки действует только крутящий момент
M кр = M z , то
						2 ω

Эта формула называется ф о р м у л о й Б р е д т а.

Таким образом, оболочки с однозамкнутым контуром поперечного сечения воспринимают произвольно приложенные поперечные силы Q x и Q y , а так-

же крутящий момент M z . Возникающие при этом напряжения определяются, как показано выше, только из уравнений равновесия, поэтому оболочки с однозамкнутым контуром поперечного сечения являются статически определимыми.

Определение потока касательных сил в оболочках с многозамкнутым контуром поперечного сечения

В качестве примера оболочки с многозамкнутым контуром поперечного сечения можно привести крыло современного самолета транспортной категории, имеющее, как правило, несколько лонжеронов и продольных стенок.

Рассмотрим оболочку с n раз замкнутым контуром поперечного сечения, нагруженную поперечными силами Q x , Q y и крутящим моментом M z (рис. 1.15).

	2 ... i ... n

Рис. 1.15. Нагружение оболочки с многозамкнутым контуром поперечного сечения

Чтобы решить задачу отыскания потока касательных сил q в оболочке с n раз замкнутым контуром поперечного сечения, необходимо сначала превратить рассматриваемую оболочку в оболочку с открытым контуром, разрезав каждый из n контуров. При этом необходимо приложить n неизвестных потоков касательных сил q 0 i (рис. 1.16), поскольку как и в случае с однозамкнутым контуром разрезы делаются условно.

Составим уравнение моментов относительно произвольно выбранного полюса P (x P , y P ):

∑ q 0 i 2 ω i+ q Q ρ ds = M z− Q y (x P− x Q)+ Q x (y P− y Q) .

i= 1

Данное уравнение содержит n неизвестных потоков q 0 i . Таким образом, данная задача является (n – 1) раз статически неопределимой. Для ее решения необходимо использовать условие совместности деформаций.

				P (x P , y P )
			q0 i		q0 n
Рис. 1.16. К определению потоков касательных сил q 0 i в оболочке
с многозамкнутым контуром поперечного сечения

Таким условием служит равенство углов поворота каждого i -го контура оболочки и угла поворота всего сечения в целом

θ 1 =θ 2 = ...=θ i = ...=θ n =θ . (1.56)

Это условие вытекает из принятого выше допущения о недеформируемости контура поперечного сечения оболочки в своей плоскости.

Основываясь на выражении для потенциальной энергии деформации, полученном в части I настоящего учебного пособия, запишем формулу, описывающую распределенную дополнительную потенциальную энергию деформации, т.е. энергию, соответствующую единице длины оболочки, для некоторого i -го контура многозамкнутого сечения

				δ ds =
В соответствии с формулой Бредта (1.54) запишем выражение для крутя-
щего момента, создаваемого потоком касательных сил q 0 i в i -м контуре
			M i= 2 q 0 i ω i.

В соответствии с теоремой Кастильяно, приведенной в части I настоящего учебного пособия, которая гласит, что частная производная от дополнительной потенциальной энергии по силовому фактору равна перемещению по направлению этого силового фактора, запишем выражение для угла закручивания i -го контура

	∂ U i
θi =	∂ M i .

Выполним преобразования с учетом того, что q 0 i = M i (формула (1.58)) 2ω i

Под оболочкой понимается тело, одно из измерений которого (толщина) значительно меньше двух других. Геометрическое место точек, равноотстоящих от обеих поверхностей оболочки, носит название срединной поверхности .

Если срединная поверхность оболочки является плоскостью, то такую оболочку называют пластиной .

Геометрическая форма объектов, которые могут быть причислены к оболочкам или пластинам, чрезвычайно разнообразна: в машиностроении - это корпуса всевозможных машин; в гражданском и промышленном строительстве - покрытия и перекрытия, навесы, карнизы; в кораблестроении - корпуса судов, сухих и плавучих доков; в авиастроении - фюзеляжи и крылья самолетов; в подвижном составе железнодорожного транспорта, кузова вагонов, цистерны, несущие конструкции локомотивов; в атомной энергетике - защитная конструкция атомных станций, корпуса реакторов и т.д.

Если срединная поверхность оболочки образует поверхность вращения в форме цилиндра, то оболочку называют цилиндриче­ской .

К схеме осесимметричной цилиндрической оболочки сводится очень много инженерных конструкций, в том числе: котлов, баков, нефтепроводов, газопроводов, деталей машин и др.

Задача о расчете тонкостенных оболочек вращения наиболее просто решается в том случае, когда возможно принять, что напря­жения, возникающие в оболочке, постоянны по толщине и, следовательно, изгиб оболочки отсутствует.

Теория оболочек, построенная в этом предположении, называется безмоментной теорией оболочек.

Если оболочка имеет резкий переход и жесткие защемления и, кроме того, нагружена сосредоточенной силой и моментами, то в местах крепежа оболочки, резких изменений формы, и в местах действия сосредоточенных сил и моментов возникают интенсивные напряжения, обусловленные изгибным эффектом . Учет изгиб­ных эффектов можно получить в рамках моментной теории оболочек.

Следует отметить, что чем меньше отношение толщины h обо­лочки к ее радиусу R , тем точнее выполняется предположение о постоянстве напряжений по толщине и тем более точнее выпол­няются расчеты по безмоментной теории.

Отметим, что оболочка считается тонкой , если h/R≤1/20.

Следовательно, при расчете на прочность тонких оболочек в зависимости от характера распределения внешних нагрузок, опорных закреплений, применяется или безмоментная или моментная теория. При этом предполагается равномерное распределение напряжений по продольным и поперечным сечениям оболочек (отсутствие в этих сечениях изгибающих, крутящих моментов и попе­речных сил).

При осесимметричной нагрузке отсутствуют также сдвигающие силы. Определение усилий по безмоментной теории производится достаточно точно на расстоянии, превышающем величину (3÷5) от мест скачкообразного изменения формы или площади сечения, жестких контурных закреплений или от места приложения внешних сосредоточенных сил и моментов. Вблизи указанных мест возникают дополнительные напряжения от изгибного эффекта.

В моментной и безмоментной теории тонких оболочек или, так называемой технической теории оболочек , состоящей в рез­ком различии их толщины и габаритных размеров, влечет за собой возможность упрощения теории путем некоторой схематизации действительной работы конструкций. Эта схематизация формируется в используемых гипотезах, аналогичных гипотезам в теории стержней, т.е. гипотезам плоских сечений и гипотезам “ненадавливания” слоев оболочки друг на друга.

Эти гипотезы позволяют свести трехмерную задачу механики сплошной среды к двумерной, подобно тому как в теории стержней трехмерная задача сведена к одномерной.

Оболочки, к которым применимы упомянутые выше гипотезы, называются тонкими, а те, к которым эти гипотезы не применимы, называются толстыми .

Граница между тонкими и толстыми оболочками условны и определяются отношением h/R≈1/20.

В тех случаях, когда h/R≥1/20 для получения приемлемых ре­зультатов по точности применяется аппарат механики сплошной среды, в частности теории упругости или пластичности в зависи­мости от постановки задачи .

Тонкостенной осесимметричной называется оболочка, имеющая форму тела вращения, толщина которой мала по сравнению с радиусами кривизны ее поверхности (рис.1).

При расчете тонкостенных оболочек все нагрузки, действующие на них, прикладывают к срединной поверхности оболочки.

К тонким оболочкам могут быть отнесены такие часто встречающиеся элементы конструкций как резервуары, цистерны, газовые баллоны, корпуса аппаратов химических агрегатов и др.

При расчете таких элементов конструкций используется безмоментная теория оболочек , основные положения которой заключаются в следующем:

1. нагрузки, действующие на поверхности оболочки, могут считаться перпендикулярными им и симметричными относительно оси вращения оболочки;

2. вследствие малой толщины оболочки сопротивление изгибу отсутствует (изгибающий момент не возникает);

Из оболочки, изображенной на рис.1 выделим двумя меридиональными плоскостями nn 1 n 2 и nn 3 n 2 , (т.е. плоскостями проходящими через ось симметрии оболочки), с углом dφ между ними и двумя плоскостями, перпендикулярными оси симметрии оболочки BC и AD , элементABCD .

Радиусы кривизны O 2 A и O 2 B элемента ABCD в меридиональной плоскости обозначим через R 2 , а радиусы кривизны O 1 B и O 1 C в плоскости, перпендикулярной меридиану, обозначим через R 1 . Нормальные напряжения, действующие по боковым граням AB и CD , соприкасающимся с меридиональными плоскостями, называются окружными напряжениями σ t . Нормальные напряжения, действующие по боковым граням BС и AD , называются меридиональными напряжениями σ s . Кроме напряжений σ s и σ t . на элемент оболочки действует нагрузка в виде давления q, перпендикулярного поверхности ABCD .

Рис.1 Тонкостенная осесимметричная оболочка

Основным уравнением безмоментной теории оболочек является уравнение Лапласа , которое имеет следующий вид

где δ - толщина оболочки,

σ t - окружное напряжение,

σ s – меридиональное напряжение,

R 2 - радиусы кривизны O 2 A и O 2 B элемента ABCD ,

R 1 - радиусы кривизны O 1 B и O 1 C в плоскости, перпендикулярной меридиану.

Прежде чем перейдем к рассмотрению различных вариантов определения напряжений в оболочках остановимся на некоторых различиях, вызванных наличием газа или жидкости внутри оболочки.

В случае газового давления величина давления q постоянная во всех точках поверхности оболочки. Для резервуаров, наполненных жидкостью, значение q по их высоте переменно.

Для случая наполнения резервуара жидкостью необходимо учитывать, что если на какую-либо поверхность действует давление жидкости, то вертикальные составляющие сил давления равны весу жидкости в объеме, расположенном над поверхностью. Поэтому давление жидкости в различных сечениях оболочки будет различным, в отличие от давления газа.

Определим напряжения в сферических и цилиндрических оболочках, т.к. они наиболее часто используются в промышленности.