নিয়ন্ত্রণের সর্বোত্তম ফর্ম। সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণ

6.2.1। সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণ তত্ত্বে সমস্যার বিবৃতি এবং শ্রেণীবিভাগ।আমরা যে সমস্যাগুলি বিবেচনা করেছি তার বেশিরভাগ ক্ষেত্রে, সময়ের সাথে অধ্যয়নের অধীনে থাকা বস্তু এবং সিস্টেমের পরিবর্তনের সাথে সম্পর্কিত কারণগুলিকে সমীকরণ থেকে সরিয়ে নেওয়া হয়েছিল। সম্ভবত, যদি কিছু পূর্বশর্ত পূরণ করা হয়, এই ধরনের একটি পদ্ধতি গঠনমূলক এবং বৈধ। যাইহোক, এটাও স্পষ্ট যে এটি সবসময় গ্রহণযোগ্য নয়। সমস্যাগুলির একটি বিস্তৃত শ্রেণী রয়েছে যেখানে সময় এবং স্থানের অবস্থার গতিশীলতা বিবেচনায় নিয়ে একটি বস্তুর সর্বোত্তম ক্রিয়াগুলি সন্ধান করা প্রয়োজন। তাদের সমাধানের পদ্ধতিগুলি সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণের গাণিতিক তত্ত্বের বিষয়।

একটি খুব সাধারণ আকারে, সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণ সমস্যাটি নিম্নরূপ প্রণয়ন করা যেতে পারে:

একটি নির্দিষ্ট বস্তু রয়েছে, যার অবস্থাটি দুটি ধরণের পরামিতি দ্বারা চিহ্নিত করা হয় - রাষ্ট্রের পরামিতি এবং নিয়ন্ত্রণ পরামিতি এবং পরবর্তীটির পছন্দের উপর নির্ভর করে, বস্তুটি পরিচালনার প্রক্রিয়াটি এক বা অন্যভাবে এগিয়ে যায়। নিয়ন্ত্রণ প্রক্রিয়ার গুণমান একটি নির্দিষ্ট কার্যকরী * ব্যবহার করে মূল্যায়ন করা হয়, যার ভিত্তিতে টাস্কটি সেট করা হয়: নিয়ন্ত্রণ পরামিতিগুলির মানগুলির একটি ক্রম খুঁজে বের করার জন্য যার জন্য এই কার্যকরীটি চরম মান নেয়।

* কার্যকারিতাএকটি সংখ্যাসূচক ফাংশন যার আর্গুমেন্ট, একটি নিয়ম হিসাবে, অন্যান্য ফাংশন।

একটি আনুষ্ঠানিক দৃষ্টিকোণ থেকে, অনেক সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণ সমস্যা উচ্চ-মাত্রিক রৈখিক বা অরৈখিক প্রোগ্রামিং সমস্যাগুলিতে হ্রাস করা যেতে পারে, যেহেতু স্টেট স্পেসের প্রতিটি বিন্দুর অজানা ভেরিয়েবলের নিজস্ব ভেক্টর রয়েছে। তবুও, একটি নিয়ম হিসাবে, সংশ্লিষ্ট সমস্যাগুলির সুনির্দিষ্ট বিষয়গুলি বিবেচনা না করে এই দিকের আন্দোলন তাদের সমাধানের জন্য যুক্তিযুক্ত এবং কার্যকর অ্যালগরিদমের দিকে পরিচালিত করে না। অতএব, সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণ সমস্যা সমাধানের পদ্ধতিগুলি ঐতিহ্যগতভাবে অন্যান্য গাণিতিক যন্ত্রপাতির সাথে যুক্ত, বৈচিত্র্যের ক্যালকুলাস এবং অখণ্ড সমীকরণের তত্ত্ব থেকে উদ্ভূত। এটিও উল্লেখ করা উচিত যে, আবার, ঐতিহাসিক কারণে, সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণের তত্ত্বটি শারীরিক এবং প্রযুক্তিগত প্রয়োগের উপর দৃষ্টি নিবদ্ধ করা হয়েছিল, এবং অর্থনৈতিক সমস্যাগুলি সমাধানের জন্য এর প্রয়োগ একটি নির্দিষ্ট অর্থে, একটি গৌণ প্রকৃতির। একই সময়ে, বেশ কয়েকটি ক্ষেত্রে, সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণ তত্ত্বের যন্ত্রপাতি ব্যবহার করে গবেষণা মডেলগুলি অর্থপূর্ণ এবং আকর্ষণীয় ফলাফলের দিকে নিয়ে যেতে পারে।

উপরে, সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণ সমস্যা এবং গতিশীল প্রোগ্রামিং সমাধানের জন্য ব্যবহৃত পদ্ধতিগুলির মধ্যে বিদ্যমান ঘনিষ্ঠ সংযোগ সম্পর্কে একটি মন্তব্য যোগ করা প্রয়োজন। কিছু ক্ষেত্রে তারা একটি বিকল্প ভিত্তিতে ব্যবহার করা যেতে পারে, এবং অন্যদের মধ্যে তারা বেশ সফলভাবে একে অপরের পরিপূরক হতে পারে।

সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণ সমস্যা শ্রেণীবদ্ধ করার জন্য বিভিন্ন পদ্ধতি রয়েছে। প্রথমত, তারা নিয়ন্ত্রণ বস্তুর উপর নির্ভর করে শ্রেণীবদ্ধ করা যেতে পারে:

Ø Ø সঙ্গে ব্যবস্থাপনা কাজ lumped পরামিতি;

Ø Ø সঙ্গে অবজেক্ট ম্যানেজমেন্ট কাজবিতরণ করা পরামিতি।

পূর্বের একটি উদাহরণ হল সামগ্রিকভাবে একটি বিমানের নিয়ন্ত্রণ, এবং পরেরটি একটি ক্রমাগত প্রযুক্তিগত প্রক্রিয়ার নিয়ন্ত্রণ।

প্রয়োগকৃত নিয়ন্ত্রণগুলি কি ধরনের ফলাফলের উপর নির্ভর করে, সেখানে রয়েছে নির্ধারকএবং স্টোকাস্টিককাজ. পরবর্তী ক্ষেত্রে, নিয়ন্ত্রণের ফলাফল হল তাদের ঘটনার সম্ভাব্যতা দ্বারা বর্ণিত ফলাফলের একটি সেট।

সময়ের সাথে নিয়ন্ত্রিত সিস্টেমে পরিবর্তনের প্রকৃতির উপর ভিত্তি করে, কাজগুলি আলাদা করা হয়:

Ø বিযুক্ত সহ সময় পরিবর্তন;

Ø সঙ্গে একটানা সময় পরিবর্তন.

সম্ভাব্য অবস্থার একটি পৃথক বা অবিচ্ছিন্ন সেট সহ বস্তু পরিচালনার সমস্যাগুলি একইভাবে শ্রেণীবদ্ধ করা হয়। সিস্টেমের জন্য নিয়ন্ত্রণ সমস্যা যেখানে সময় এবং অবস্থা বিচ্ছিন্নভাবে পরিবর্তিত হয় তাকে নিয়ন্ত্রণ সমস্যা বলা হয় সসীম রাষ্ট্র মেশিন. অবশেষে, কিছু শর্তের অধীনে, মিশ্র সিস্টেম পরিচালনার সমস্যাগুলি সেট করা যেতে পারে।

নিয়ন্ত্রিত সিস্টেমের অনেক মডেল সাধারণ এবং আংশিক ডেরিভেটিভ উভয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের যন্ত্রপাতির উপর ভিত্তি করে। বিতরণ করা প্যারামিটার সহ সিস্টেমগুলি অধ্যয়ন করার সময়, ব্যবহৃত আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ধরণের উপর নির্ভর করে, এই ধরনের সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণ সমস্যাগুলিকে প্যারাবোলিক, উপবৃত্তাকার বা হাইপারবোলিক হিসাবে আলাদা করা হয়।

অর্থনৈতিক বস্তু পরিচালনার সমস্যার দুটি সহজ উদাহরণ বিবেচনা করা যাক।

সম্পদ বরাদ্দ সমস্যা।পাওয়া যায় টিসংখ্যা সহ গুদাম i (i∊1:মি), একটি সমজাতীয় পণ্য সংরক্ষণের উদ্দেশ্যে। সময় বিচ্ছিন্ন মুহূর্তে t∊0:(টি-l) এটি সংখ্যা সহ ভোক্তা বস্তুর (ক্লায়েন্টদের) মধ্যে বিতরণ করা হয় j, j∊1:n. পণ্য স্টোরেজ পয়েন্টে স্টক পুনরায় পূরণ t- সময়ের তাত্ক্ষণিক পরিমাণ দ্বারা নির্ধারিত হয় a i t,i∊1:মি, এবং এর জন্য গ্রাহকের চাহিদা সমান b j t, j∊1:n. আমাদের দ্বারা চিহ্নিত করা যাক c t i, j- থেকে পণ্যের একটি ইউনিট সরবরাহের খরচ iম গুদাম j- সময়ে ভোক্তা t.এ সময় গুদামে পণ্যটি গৃহীত হয় বলেও ধারণা করা হচ্ছে t, পরের মুহূর্ত থেকে শুরু করে ব্যবহার করা যেতে পারে ( t+l)। প্রণীত মডেলের জন্য, কাজটি হ'ল এই জাতীয় সংস্থান বিতরণ পরিকল্পনা সন্ধান করা ( x t i, j} টি মিএক্স n, যা সিস্টেমের অপারেশনের সম্পূর্ণ সময়কালে গুদামগুলি থেকে ভোক্তাদের কাছে পণ্য সরবরাহের মোট খরচ কমিয়ে দেয়।

দ্বারা মনোনীত x t i, jসরবরাহকৃত পণ্যের পরিমাণ j-ম ক্লায়েন্ট সঙ্গে iম গুদাম মধ্যে tসময়ের তম মুহূর্ত, এবং পরে z t i- প্রতি পণ্যের মোট পরিমাণ iগুদাম, উপরে বর্ণিত সমস্যাটিকে এই ধরনের ভেরিয়েবলের সেট খুঁজে পাওয়ার সমস্যা হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে

যা ফাংশনকে মিনিমাইজ করে

শর্তাধীন

গুদামগুলিতে প্রাথমিক পণ্য ইনভেন্টরির পরিমাণ কোথায় z 0 i = ži. দেওয়া হবে বলে ধরে নেওয়া হয়।

সমস্যা (6.20)-(6.23) বলা হয় গতিশীল পরিবহন লিনিয়ার প্রোগ্রামিং সমস্যা. উপরোক্ত পরিভাষার পরিপ্রেক্ষিতে, স্বাধীন চলক x t i, jচিত্রিত করা নিয়ন্ত্রণ পরামিতিসিস্টেম, এবং ভেরিয়েবল যা তাদের উপর নির্ভর করে z t i- সম্পূর্ণতা রাষ্ট্রীয় পরামিতিযে কোনো সময়ে সিস্টেম t.বিধিনিষেধ z t i≥ 0 গ্যারান্টি দেয় যে যেকোন মুহুর্তে তার প্রকৃত পরিমাণের বেশি পণ্যের পরিমাণ যেকোন গুদাম থেকে রপ্তানি করা যাবে না, এবং সীমাবদ্ধতা (6.21) এক পিরিয়ড থেকে অন্য সময়ে যাওয়ার সময় এই পরিমাণ পরিবর্তন করার নিয়ম সেট করে। এই ধরনের সীমাবদ্ধতা, যা সিস্টেম স্টেট প্যারামিটারের মানগুলির উপর শর্ত সেট করে, সাধারণত বলা হয় পর্যায়.

এছাড়াও নোট করুন যে শর্ত (6.21) ফেজ সীমাবদ্ধতার সবচেয়ে সহজ উদাহরণ হিসাবে কাজ করে, যেহেতু দুটি সন্নিহিত সময়ের জন্য রাষ্ট্রীয় পরামিতিগুলির মানগুলি যুক্ত tএবং t+l সাধারণভাবে, পরামিতিগুলির একটি গোষ্ঠীর জন্য একটি নির্ভরতা প্রতিষ্ঠিত করা যেতে পারে যা বেশ কয়েকটি, সম্ভবত অ-সংলগ্ন, পর্যায়গুলির অন্তর্গত। এই ধরনের প্রয়োজন দেখা দিতে পারে, উদাহরণস্বরূপ, মডেলগুলিতে ডেলিভারি বিলম্বের ফ্যাক্টর বিবেচনা করার সময়।

সামষ্টিক অর্থনীতির সহজ গতিশীল মডেল।আসুন আমরা একটি নির্দিষ্ট অঞ্চলের অর্থনীতিকে একটি সেট হিসাবে কল্পনা করি পৃশিল্প ( j∊1:পৃ), যেটির স্থূল পণ্য কোনো সময়ে আর্থিক শর্তে tভেক্টর হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে z t=(z t 1 , z t 2 ,..., z t n), কোথায় t∊0:(টি-1)। আমাদের দ্বারা চিহ্নিত করা যাক একটি টিসরাসরি খরচের ম্যাট্রিক্স, যার উপাদান a t i, j, পণ্য খরচ প্রতিফলিত iতম শিল্প (আর্থিক শর্তে) পণ্যের একক উৎপাদনের জন্য j-ম শিল্পে tসময়ের মধ্যে তম মুহূর্ত। যদি X t= ║x t i, j║nএক্স মি- ম্যাট্রিক্স নির্দিষ্ট উত্পাদন মান উল্লেখ করে i- শিল্প উৎপাদন সম্প্রসারণ করতে যাচ্ছে j-ম শিল্প, এবং y t = (y t 1 , y t 2 , ..., y t n) হল উপভোক্তা শিল্পের পণ্যের ভেক্টর যা ব্যবহারে যাচ্ছে, তাহলে প্রসারিত প্রজননের শর্তটি এভাবে লেখা যেতে পারে

কোথায় z 0 = ž - শিল্পের পণ্যের প্রাথমিক স্টক দেওয়া হবে বলে ধরে নেওয়া হয় এবং

বিবেচনাধীন মডেল, পরিমাণ z tসিস্টেম অবস্থার পরামিতি, এবং X t- নিয়ন্ত্রণ পরামিতি। এর ভিত্তিতে, বিভিন্ন কাজ করা যেতে পারে, যার একটি সাধারণ প্রতিনিধি এই মুহূর্তে অর্থনীতির সর্বোত্তম আউটপুটের সমস্যা। টিকিছু প্রদত্ত রাষ্ট্রের কাছে z* এই সমস্যাটি নিয়ন্ত্রণ পরামিতিগুলির একটি ক্রম খুঁজতে নেমে আসে

সন্তোষজনক শর্ত (6.24)-(6.25) এবং ফাংশনটি মিনিমাইজ করা

6.2.2। সহজ সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণ সমস্যা.চরম সমস্যা সমাধানের জন্য ব্যবহৃত কৌশলগুলির মধ্যে একটি হল একটি নির্দিষ্ট সমস্যাকে বিচ্ছিন্ন করা যা তুলনামূলকভাবে সহজ সমাধান স্বীকার করে, যা ভবিষ্যতে অন্যান্য সমস্যাগুলি হ্রাস করতে পারে।

এর তথাকথিত বিবেচনা করা যাক সবচেয়ে সহজ নিয়ন্ত্রণ সমস্যা. সে দেখতে কেমন

সমস্যার শর্তগুলির নির্দিষ্টতা (6.27)-(6.29) হল যে নিয়ন্ত্রণের গুণমান ফাংশন (6.27) এবং সীমাবদ্ধতাগুলি (6.28) রৈখিক z t, একই সময়ে ফাংশন g(t, x t), (6.28) এর অন্তর্ভুক্ত, নির্বিচারে হতে পারে। শেষ সম্পত্তি এমনকি সমস্যা অরৈখিক করে তোলে t=1, অর্থাৎ স্ট্যাটিক সংস্করণে।

সমস্যা সমাধানের সাধারণ ধারণা (6.27)-(6.29) সময়মতো প্রতিটি পৃথক মুহুর্তের জন্য এটিকে সাবটাস্কে "বিভক্ত" করে, এই ধারণার অধীনে যে তারা সফলভাবে সমাধানযোগ্য। চলুন সমস্যার (6.27)-(6.29) জন্য Lagrange ফাংশন তৈরি করি

যেখানে λ t- ল্যাগ্রেঞ্জ গুণকের ভেক্টর ( t∊0:টি) বিধিনিষেধ (6.29), যা একটি সাধারণ প্রকৃতির, এই ক্ষেত্রে ফাংশনে (6.30) অন্তর্ভুক্ত নয়৷ একটু ভিন্ন আকারে লিখি

ফাংশনের প্রান্তের জন্য প্রয়োজনীয় শর্ত Ф (x, z,λ) ভেক্টরের একটি সেটের উপরে z tসমীকরণের একটি সিস্টেম দ্বারা দেওয়া হয়

চমগ্মজগচ কনজুগেট ভেরিয়েবলের জন্য সিস্টেম. আপনি দেখতে পাচ্ছেন, পরামিতি λ খোঁজার প্রক্রিয়া tসিস্টেমে (6.32) বিপরীত ক্রমে পুনরাবৃত্তিমূলকভাবে বাহিত হয়।

λ ভেরিয়েবলে ল্যাগ্রেঞ্জ ফাংশনের প্রান্তের জন্য প্রয়োজনীয় শর্ত tসীমাবদ্ধতার সমতুল্য হবে (6.28), এবং অবশেষে, ভেক্টরের একটি সেটের উপর এর চরমসীমার শর্ত x t∊X t, t∊1:(টি-1) সমস্যা সমাধানের ফলে খুঁজে পাওয়া আবশ্যক

এইভাবে, একটি সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণ খুঁজে পাওয়ার সমস্যাটি এমন নিয়ন্ত্রণগুলি অনুসন্ধান করার জন্য হ্রাস করা হয় যা সর্বোত্তম বলে সন্দেহ করা হয়, অর্থাৎ, যেগুলির জন্য প্রয়োজনীয় সর্বোত্তম অবস্থা সন্তুষ্ট। এই, ঘুরে, এই ধরনের খোঁজার নিচে আসে t, t, t, শর্তগুলির সিস্টেমকে সন্তুষ্ট করে (6.28), (6.32), (6.33), যাকে বলা হয় পন্ট্রিয়াগিনের বিচ্ছিন্ন সর্বোচ্চ নীতি।

তত্ত্বটি সত্য।

প্রমাণ।

দিন t, t, t, সন্তুষ্ট সিস্টেম (6.28), (6.32), (6.33)। তারপর (6.31) এবং (6.32) থেকে এটি অনুসরণ করে

এবং যেহেতু tসন্তুষ্ট (6.33), তারপর

অন্যদিকে, (6.28) এর গুণে এটি (6.30) থেকে অনুসরণ করে যে কোনো ভেক্টরের জন্য t

তাই,

উপপাদ্য (6.2) প্রয়োগ করে, সেইসাথে একটি চরম সমস্যার সমাধান এবং একটি স্যাডল পয়েন্টের অস্তিত্বের মধ্যে সংযোগ সম্পর্কিত ননলাইনার প্রোগ্রামিং তত্ত্বের বিধানগুলি প্রয়োগ করে (বিভাগ 2.2.2 দেখুন), আমরা এই সিদ্ধান্তে উপনীত হই যে ভেক্টরগুলি t, tসহজ সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণ সমস্যার সমাধান (6.27)-(6.29)।

ফলস্বরূপ, আমরা এই সমস্যাটি সমাধানের জন্য একটি যৌক্তিকভাবে সহজ স্কিম পেয়েছি: সম্পর্ক থেকে (6.32) কনজুগেট ভেরিয়েবলগুলি নির্ধারিত হয় t, তারপর সমস্যা সমাধানের সময় (6.33) নিয়ন্ত্রণগুলি পাওয়া যায় tএবং আরও (6.28) থেকে - রাজ্যগুলির সর্বোত্তম গতিপথ t,.

প্রস্তাবিত পদ্ধতিটি সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণের তত্ত্বের মৌলিক ফলাফলের সাথে সম্পর্কিত এবং উপরে উল্লিখিত হিসাবে, আরও অনেক জটিল সমস্যা সমাধানের জন্য গুরুত্বপূর্ণ, যা, এক বা অন্য উপায়ে, সহজে হ্রাস করা হয়। একই সময়ে, এর কার্যকরী ব্যবহারের সীমা সুস্পষ্ট, যা সম্পূর্ণরূপে সমস্যা সমাধানের সম্ভাবনার উপর নির্ভর করে (6.33)।

মূল ধারণা

Ø খেলা, খেলোয়াড়, কৌশল।

Ø Ø জিরো-সম গেম।

Ø Ø ম্যাট্রিক্স গেম।

Ø Ø বিরোধী খেলা।

Ø Ø ম্যাক্সিমিন এবং মিনিম্যাক্সের মূলনীতি।

Ø Ø খেলার স্যাডল পয়েন্ট।

Ø খেলার মূল্য।

Ø Ø মিশ্র কৌশল।

Ø Ø ম্যাট্রিক্স গেমের প্রধান উপপাদ্য।

Ø গতিশীল পরিবহন সমস্যা।

Ø সামষ্টিক অর্থনীতির সবচেয়ে সহজ গতিশীল মডেল।

Ø সহজতম সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণ সমস্যা।

Ø Ø পন্ট্রিয়াগিনের বিচ্ছিন্ন সর্বোচ্চ নীতি।

কন্ট্রোল প্রশ্ন

6.1। সংক্ষেপে গেম থিওরির বিষয়টিকে বৈজ্ঞানিক শৃঙ্খলা হিসাবে প্রণয়ন করুন।

6.2। "গেম" ধারণাটির অর্থ কী?

6.3। গেম থিওরির যন্ত্রপাতি কোন অর্থনৈতিক পরিস্থিতিতে ব্যবহার করা যেতে পারে তা বর্ণনা করতে?

6.4। কোন খেলাকে বিরোধী বলা হয়?

6.5। কিভাবে ম্যাট্রিক্স গেম অনন্যভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়?

৬.৬। ম্যাক্সিমিন এবং মিনিম্যাক্সের নীতিগুলি কী কী?

৬.৭। কোন অবস্থার অধীনে আমরা বলতে পারি যে একটি খেলার একটি স্যাডল পয়েন্ট আছে?

৬.৮। যে গেমগুলির একটি স্যাডল পয়েন্ট আছে এবং যেগুলি নেই সেগুলির উদাহরণ দিন।

৬.৯। সর্বোত্তম কৌশল নির্ধারণের জন্য কোন পন্থা বিদ্যমান?

6.10। "খেলার দাম" কি বলা হয়?

6.11। "মিশ্র কৌশল" ধারণাটি সংজ্ঞায়িত করুন।

বাইবলিওগ্রাফি

1. আব্রামভ এল.এম., কাপুস্টিন ভি.এফ.গাণিতিক প্রোগ্রামিং। এল., 1981।

2. আশমানভ এস.এ.লিনিয়ার প্রোগ্রামিং: পাঠ্যপুস্তক। ভাতা. এম।, 1981।

3. আশমানভ এস.এ., টিখোনভ এ.ভি.সমস্যা এবং অনুশীলনে অপ্টিমাইজেশান তত্ত্ব। এম।, 1991।

4. বেলম্যান আর.ডাইনামিক প্রোগ্রামিং। এম।, 1960।

5. বেলম্যান আর., ড্রেফাস এস।ডায়নামিক প্রোগ্রামিং এর প্রয়োগকৃত সমস্যা। এম।, 1965।

6. গাভুরিন এমকে, মালোজেমোভ ভি.এন.রৈখিক সীমাবদ্ধতার সাথে চরম সমস্যা। এল., 1984।

7. গ্যাস এস.লিনিয়ার প্রোগ্রামিং (পদ্ধতি এবং অ্যাপ্লিকেশন)। এম।, 1961।

8. গেইল ডি. রৈখিক অর্থনৈতিক মডেলের তত্ত্ব এম., 1963।

9. গিল এফ., মারে ডব্লিউ., রাইট এম.ব্যবহারিক অপ্টিমাইজেশান / অনুবাদ। ইংরেজী থেকে এম।, 1985।

10. ডেভিডভ ই.জি.অপারেশন গবেষণা: Proc. বিশ্ববিদ্যালয়ের শিক্ষার্থীদের জন্য ম্যানুয়াল। এম।, 1990।

11. ড্যানজিগ জে।লিনিয়ার প্রোগ্রামিং, এর সাধারণীকরণ এবং অ্যাপ্লিকেশন। এম।, 1966।

12. ইরেমিন আই.আই., আস্তাফিভ এন.এন.রৈখিক এবং উত্তল প্রোগ্রামিং তত্ত্বের ভূমিকা। এম।, 1976।

13. Ermolyev Yu.M., Lyashko I.I., Mikhalevich V.S., Tyuptya V.I.অপারেশন গবেষণা গাণিতিক পদ্ধতি: Proc. বিশ্ববিদ্যালয়ের জন্য ম্যানুয়াল। কিয়েভ, 1979।

14. জাইচেনকো ইউ পি।অপারেশন রিসার্চ, ২য় সংস্করণ। কিয়েভ, 1979।

15. জ্যাংউইল ডব্লিউ আই.ননলাইনার প্রোগ্রামিং। ইউনিফাইড পদ্ধতির. এম।, 1973।

16. Zeutendijk জি।সম্ভাব্য দিকনির্দেশের পদ্ধতি। এম।, 1963।

17. কার্লিন এস।গেম তত্ত্ব, প্রোগ্রামিং এবং অর্থনীতিতে গাণিতিক পদ্ধতি। এম।, 1964।

18. কারমানভ ভি.জি.গাণিতিক প্রোগ্রামিং: পাঠ্যপুস্তক। ভাতা. এম।, 1986।

19. Korbut A.A., Finkelyitein Yu.Yu.বিচ্ছিন্ন প্রোগ্রামিং। এম।, 1968।

20. কফম্যান এ., হেনরি-লেবারডার এ।অপারেশন গবেষণা পদ্ধতি এবং মডেল. এম।, 1977।

21. Künze G.P., Krelle V.ননলাইনার প্রোগ্রামিং। এম।, 1965।

22. Lyashenko I.N., Karagodova E.A., Chernikova N.V., Shor N.3.লিনিয়ার এবং ননলাইনার প্রোগ্রামিং। কিয়েভ, 1975।

23. ম্যাককিনসে জে।গেম তত্ত্বের ভূমিকা। এম।, 1960।

24. মুখাচেভা ই. এ., রুবিনশটাইন জি. শ.গাণিতিক প্রোগ্রামিং। নভোসিবিরস্ক, 1977।

25. নিউম্যান জে., মর্গেনস্টার ও.গেম তত্ত্ব এবং অর্থনৈতিক আচরণ। এম, 1970।

26. আকরিক ও.গ্রাফ তত্ত্ব। এম।, 1968।

27. তাহা এক্স।অপারেশনস রিসার্চ / ট্রান্স পরিচিতি. ইংরেজী থেকে এম।, 1985।

28. Fiacco A., McCormick G.ননলাইনার প্রোগ্রামিং। অনুক্রমিক শর্তহীন ন্যূনতমকরণের পদ্ধতি। এম., 1972।

29. হ্যাডলি জে।অরৈখিক এবং গতিশীল প্রোগ্রামিং। এম।, 1967।

30. ইউডিন ডি.বি., গোলস্টেইন ই.জি.লিনিয়ার প্রোগ্রামিং (তত্ত্ব, পদ্ধতি এবং অ্যাপ্লিকেশন)। এম।, 1969।

31. ইউডিন ডি.বি., গোলস্টেইন ই.জি.রৈখিক প্রোগ্রামিং. তত্ত্ব এবং চূড়ান্ত পদ্ধতি। এম।, 1963।

32. ল্যাপিন এল।কেস সহ ব্যবসায়িক সিদ্ধান্তের জন্য পরিমাণগত পদ্ধতি। চতুর্থ সংস্করণ। এইচবিজে, 1988।

33. Liitle I.D.C., Murty K.G., Sweeney D.W., Karel C.ভ্রমণ বিক্রয়কর্মী সমস্যার জন্য ভ্রমণের জন্য একটি অ্যালগরিদম। - অপারেশন রিসার্চ, 1963, ভলিউম 11, নং। 6, পৃ. 972-989/ রাশিয়ান। অনুবাদ: লিটল জে., মূর্তি কে., সুইনি ডি., কেরেল কে.ভ্রমণ বিক্রয়কর্মী সমস্যা সমাধানের জন্য অ্যালগরিদম। - বইটিতে: অর্থনীতি এবং গাণিতিক পদ্ধতি, 1965, ভলিউম 1, নং 1, পৃ. 94-107।

মুখবন্ধ................................................. .................................................. ........................................................ .................................................................. ..................... ..... 2

ভূমিকা................................................. ........................................................ ..................................................... ................................................................... ......................................... 3

অধ্যায় 1. লিনিয়ার প্রোগ্রামিং.................................. ........................................................ ..................................................... ...... 8

1.1। লিনিয়ার প্রোগ্রামিং সমস্যা প্রণয়ন ................................................ ........................................................ ................. 9

1.2। ZLP এর মৌলিক বৈশিষ্ট্য এবং এর প্রথম জ্যামিতিক ব্যাখ্যা.................................. .................................................এগারো

1.3। মৌলিক সমাধান এবং ZLP এর দ্বিতীয় জ্যামিতিক ব্যাখ্যা.................................. ........................................................ .. 15

1.4। সিম্পলেক্স পদ্ধতি................................................ ................................................... ........................................................ ................................................................... 17

1.5। সংশোধিত সিমপ্লেক্স পদ্ধতি................................................. ..................................................... ........................................................... ............. ২৬

1.6। লিনিয়ার প্রোগ্রামিং-এ দ্বৈততার তত্ত্ব................................................ ........................................................ ত্রিশ

1.7। দ্বৈত সিমপ্লেক্স পদ্ধতি............................................ ..................................................... ........................................................... .................37

মূল ধারণা................................................ ................................................................... ........................................................ ................................................................... ........................ 42

কন্ট্রোল প্রশ্ন ................................................ ..................................................... ...................................................... ............................................ 43

অধ্যায় 2. ননলাইনার প্রোগ্রামিং.................................. ........................................................ .................................................. 44

2.1। ননলাইনার প্রোগ্রামিং সমস্যা সমাধানের পদ্ধতি ................................................ ........................................................ 44

2.2। ননলাইনার প্রোগ্রামিং-এ দ্বৈততা.................................................. ........................................................ ...............................55

মূল ধারণা................................................ ................................................................... ........................................................ ................................................................... ................. 59

কন্ট্রোল প্রশ্ন ................................................ ..................................................... ...................................................... ............................................59

অধ্যায় 3. পরিবহন এবং নেটওয়ার্ক কাজগুলি........................................ ........................................................ ................................................................... 60

3.1। পরিবহন সমস্যা এবং এর সমাধানের পদ্ধতি........................................... ........................................................ ............................................... 60

3.2। নেটওয়ার্ক টাস্ক ................................................ ................................................................ ........................................................ ..................................................... ............... ৬৬

মূল ধারণা................................................ ................................................................... ........................................................ ................................................................... ................73

কন্ট্রোল প্রশ্ন ................................................ ..................................................... ...................................................... ............................................73

অধ্যায় 4. বিচ্ছিন্ন প্রোগ্রামিং.................................................. ........................................................ ..................................................... 74

4.1। বিচ্ছিন্ন প্রোগ্রামিং টাস্কের প্রকার ................................................ ..................................................... ........................................... 74

4.2। গোমরি পদ্ধতি................................................. ................................................... ........................................................ ................................................................... ........78

4.3। শাখা এবং সীমানা পদ্ধতি ................................................ ...................................................... ............................................................ ..................................................81

মূল ধারণা................................................ ................................................................... ........................................................ ................................................................... ................86

কন্ট্রোল প্রশ্ন ................................................ ..................................................... ...................................................... ............................................86

অধ্যায় 5. ডায়নামিক প্রোগ্রামিং.................................. ........................................................ ............................................86

5.1। ডায়নামিক প্রোগ্রামিং পদ্ধতির সাধারণ স্কিম ................................................ ........................................................ ........... 86

5.2। ডায়নামিক প্রোগ্রামিং সমস্যার উদাহরণ ................................................ ........................................................ ............................................ 93

মূল ধারণা................................................ ................................................................... ........................................................ ................................................................... ................. 101

কন্ট্রোল প্রশ্ন ................................................ ..................................................... ...................................................... ............................................ 101

অধ্যায় 6. অপারেশন গবেষণার অন্যান্য বিভাগগুলির সংক্ষিপ্ত ওভারভিউ.................................. ............................................ 101

6.1। খেলা তত্ত্ব................................................ ..................................................... ...................................................... ............................................................ .................. 101

6.2। সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণ তত্ত্ব ................................................... ..................................................... ........................................................... ..................... 108

মূল ধারণা................................................ ................................................................... ........................................................ ................................................................... ................. 112

কন্ট্রোল প্রশ্ন ................................................ ..................................................... ...................................................... ............................................ 112

গ্রন্থপঞ্জি................................................. ..................................................... ..................................................... ........................................................... 112

সর্বোত্তম প্রক্রিয়া নিয়ন্ত্রণ (বক্তৃতা)

লেকচার প্ল্যান

1. একটি ফাংশনের প্রান্ত খুঁজে বের করার প্রাথমিক ধারণা

2. সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণ পদ্ধতির শ্রেণীবিভাগ

1. একটি ফাংশনের প্রান্ত খুঁজে বের করার প্রাথমিক ধারণা

একটি সর্বোত্তম সমস্যার যেকোনো গাণিতিক সূত্র প্রায়শই এক বা একাধিক স্বাধীন চলকের একটি ফাংশনের প্রান্ত খুঁজে বের করার সমস্যার সমতুল্য বা সমতুল্য। অতএব, এই ধরনের সর্বোত্তম সমস্যাগুলি সমাধান করার জন্য, একটি এক্সট্রিম অনুসন্ধানের জন্য বিভিন্ন পদ্ধতি ব্যবহার করা যেতে পারে।

সাধারণভাবে, অপ্টিমাইজেশান সমস্যাটি নিম্নরূপ প্রণয়ন করা হয়:

R (x) ফাংশনের extr খুঁজুন, যেখানে XX

R (x) - উদ্দেশ্য ফাংশন বা ফাংশন বা অপ্টিমাইজেশন মানদণ্ড বা অপ্টিমাইজড ফাংশন বলা হয়

X একটি স্বাধীন পরিবর্তনশীল।

যেমনটি পরিচিত, একটি ক্রমাগত ফাংশন R (x) এর একটি প্রান্তের অস্তিত্বের জন্য প্রয়োজনীয় শর্তগুলি প্রথম ডেরিভেটিভের বিশ্লেষণ থেকে পাওয়া যেতে পারে। এই ক্ষেত্রে, ফাংশন R(x) স্বাধীন পরিবর্তনশীল X-এর এই ধরনের মানের জন্য চরম মান থাকতে পারে, যেখানে প্রথম ডেরিভেটিভটি 0 এর সমান। =0। গ্রাফিকভাবে, ডেরিভেটিভ যদি শূন্য হয়, তাহলে এর অর্থ হল এই বিন্দুতে বক্ররেখার স্পর্শক R(x) অ্যাবসিসার সমান্তরাল।

ডেরিভেটিভ = 0 এর সমতা একটি চরমের জন্য একটি প্রয়োজনীয় শর্ত।

যাইহোক, শূন্য থেকে ডেরিভেটিভের সমতা মানে এই নয় যে এই বিন্দুতে একটি চরমতা রয়েছে। অবশেষে নিশ্চিত করার জন্য যে এই মুহুর্তে সত্যিই একটি চরমপন্থা রয়েছে, এটি অতিরিক্ত গবেষণা পরিচালনা করা প্রয়োজন, যা নিম্নলিখিত পদ্ধতিগুলি নিয়ে গঠিত:

1. ফাংশনের মান তুলনা করার পদ্ধতি

"সন্দেহজনক" চরম বিন্দু X K-এ ফাংশন R (x) এর মান X K-ε এবং X K+ε বিন্দুতে R (x) ফাংশনের দুটি প্রতিবেশী মানের সাথে তুলনা করা হয়, যেখানে ε একটি ছোট ইতিবাচক মান। (চিত্র 2)

যদি R (X K+ε) এবং R (X K-ε) উভয়েরই গণনাকৃত মান R (X K) এর চেয়ে কম বা বেশি হয়, তাহলে X K বিন্দুতে R ফাংশনের সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন (এক্স).

যদি R (X K) এর R (X K-ε) এবং R (X K+ε) এর মধ্যে একটি মধ্যবর্তী মান থাকে, তাহলে R (x) ফাংশনের সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন কোনোটিই থাকে না।

2. ডেরিভেটিভের লক্ষণ তুলনা করার পদ্ধতি

আসুন আমরা আবার X K বিন্দুর আশেপাশে R (X K) ফাংশনটি বিবেচনা করি, অর্থাৎ X K+ε এবং X K-ε। এই পদ্ধতির সাহায্যে, X K বিন্দুর আশেপাশে ডেরিভেটিভের চিহ্নটি বিবেচনা করা হয়। যদি X K-ε এবং X K + ε বিন্দুতে ডেরিভেটিভের চিহ্ন আলাদা হয়, তাহলে X K বিন্দুতে একটি এক্সট্রিম আছে। এই ক্ষেত্রে, বিন্দু X K-ε থেকে X K+ε বিন্দুতে যাওয়ার সময় ডেরিভেটিভের চিহ্ন পরিবর্তন করে এক্সট্রিমামের ধরন (মিনিট বা সর্বোচ্চ) পাওয়া যেতে পারে।

যদি চিহ্নটি “+” থেকে “-” তে পরিবর্তিত হয়, তাহলে X K বিন্দুতে সর্বাধিক (চিত্র 3b) থাকে, যদি বিপরীতে “-” থেকে “+” হয়, তবে সর্বনিম্ন আছে। (চিত্র 3a)

3. উচ্চ ডেরিভেটিভের লক্ষণ অধ্যয়ন করার জন্য একটি পদ্ধতি।

এই পদ্ধতিটি এমন ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয় যেখানে "সন্দেহজনক" বিন্দুতে উচ্চতর আদেশের ডেরিভেটিভ রয়েছে, যেমন R (X K) ফাংশনটি শুধুমাত্র অবিচ্ছিন্ন নয়, এর সাথে ক্রমাগত ডেরিভেটিভ এবং .

পদ্ধতিটি নিম্নোক্তভাবে ফুটে ওঠে:

বিন্দুতে এক্স কে"সন্দেহ" চরমের কাছে, যার জন্য এটি সত্য

দ্বিতীয় ডেরিভেটিভের মান গণনা করা হয়।

যদি একই সময়ে , তারপর X K বিন্দুতে সর্বোচ্চ,

যদি , তারপর X K বিন্দুতে সর্বনিম্ন।

ব্যবহারিক অপ্টিমাইজেশান সমস্যাগুলি সমাধান করার সময়, R (X K) ফাংশনের কিছু ন্যূনতম বা সর্বোচ্চ মান নয়, তবে এই ফাংশনের বৃহত্তম বা ক্ষুদ্রতম মান, যাকে গ্লোবাল এক্সট্রিমাম বলা হয় তা খুঁজে বের করতে হবে। (চিত্র 4)

সাধারণ ক্ষেত্রে, অপ্টিমাইজেশান সমস্যাটি গাণিতিক মডেলের সমীকরণের উপর নির্দিষ্ট সীমাবদ্ধতার উপস্থিতিতে R (X) ফাংশনের প্রান্তভাগ খুঁজে নিয়ে গঠিত।

যদি R (X) রৈখিক হয়, এবং সম্ভাব্য সমাধানের অঞ্চলটি রৈখিক সমতা এবং অসমতা দ্বারা নির্দিষ্ট করা হয়, তাহলে একটি ফাংশনের প্রান্ত খুঁজে পাওয়ার সমস্যাটি লিনিয়ার প্রোগ্রামিং সমস্যার শ্রেণির অন্তর্গত।

প্রায়শই সেট X কে ফাংশনের একটি সিস্টেম হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়

তারপর রৈখিক প্রোগ্রামিং সমস্যার গাণিতিক বিবৃতি এই মত দেখায়:

যদি লক্ষ্য ফাংশন R (X) বা যেকোনো সীমাবদ্ধতা একটি রৈখিক ফাংশন না হয়, তাহলে R (X) ফাংশনের প্রান্ত খুঁজে বের করার কাজটি অরৈখিক প্রোগ্রামিং সমস্যার ক্লাসের অন্তর্গত।

যদি এক্স ভ্যারিয়েবলের উপর কোন বিধিনিষেধ আরোপ করা না হয়, তাহলে এই ধরনের সমস্যাকে বলা হয় শর্তহীন চরম সমস্যা।

একটি সাধারণ অপ্টিমাইজেশান সমস্যার উদাহরণ

সর্বাধিক ভলিউমের একটি বাক্স সম্পর্কে সমস্যা৷

এই ফাঁকা থেকে, এর কোণে চারটি জোড় বর্গক্ষেত্র কাটা উচিত এবং ফলস্বরূপ চিত্রটি (চিত্র 5 খ) বাঁকানো উচিত যাতে উপরের ঢাকনা ছাড়াই একটি বাক্স তৈরি করা যায় (চিত্র 6.5 গ)। এই ক্ষেত্রে, কাটা স্কোয়ারের আকার নির্বাচন করা প্রয়োজন যাতে আপনি সর্বাধিক ভলিউমের একটি বাক্স পান।

একটি উদাহরণ হিসাবে এই সমস্যাটি ব্যবহার করে, আমরা অপ্টিমাইজেশান সমস্যাগুলি সেট করার সমস্ত উপাদানকে চিত্রিত করতে পারি।

ভাত। 5. একটি নির্দিষ্ট আকারের আয়তক্ষেত্রাকার ফাঁকা থেকে একটি বাক্স তৈরির পরিকল্পনা

এই সমস্যায় মূল্যায়ন ফাংশন হল উত্পাদিত বাক্সের আয়তন। সমস্যাটি কাটার জন্য বর্গক্ষেত্রের আকার নির্বাচন করা। প্রকৃতপক্ষে, যদি কাটা স্কোয়ারের আকার খুব ছোট হয়, তাহলে কম উচ্চতার একটি প্রশস্ত বাক্স পাওয়া যাবে, যার অর্থ আয়তনটি ছোট হবে। অন্যদিকে, যদি কাটা বর্গক্ষেত্রের আকার খুব বড় হয়, তাহলে বড় উচ্চতার একটি সরু বাক্স পাওয়া যাবে, যার অর্থ হল এর আয়তনও ছোট হবে।

একই সময়ে, কাটা স্কোয়ারের আকারের পছন্দটি মূল ওয়ার্কপিসের আকারের সীমাবদ্ধতার দ্বারা প্রভাবিত হয়। প্রকৃতপক্ষে, আপনি যদি মূল ওয়ার্কপিসের অর্ধেক পাশের সমান পাশে স্কোয়ারগুলি কেটে ফেলেন তবে কাজটি অর্থহীন হয়ে যায়। কাটা স্কোয়ারের দিকটিও আসল ওয়ার্কপিসের অর্ধেক দিক অতিক্রম করতে পারে না, যেহেতু এটি ব্যবহারিক কারণে অসম্ভব। এটি এই থেকে অনুসরণ করে যে এই সমস্যাটির গঠনে অবশ্যই কিছু বিধিনিষেধ থাকতে হবে।

সর্বাধিক আয়তনের একটি বাক্সের সমস্যার গাণিতিক প্রণয়ন. এই সমস্যাটি গাণিতিকভাবে প্রণয়নের জন্য, বাক্সের জ্যামিতিক মাত্রার বৈশিষ্ট্যযুক্ত কিছু পরামিতি বিবেচনায় আনতে হবে। এই উদ্দেশ্যে, আমরা উপযুক্ত পরামিতি সহ সমস্যার মূল সূত্রের পরিপূরক করব। এই উদ্দেশ্যে, আমরা কিছু নমনীয় উপাদান দিয়ে তৈরি একটি বর্গক্ষেত্র ফাঁকা বিবেচনা করব, যার একটি পার্শ্ব দৈর্ঘ্য L (চিত্র 6) রয়েছে। এই ফাঁকা থেকে আপনার চারটি জোড় বর্গক্ষেত্র কাটা উচিত যার কোণায় একটি দিক রয়েছে এবং ফলস্বরূপ চিত্রটি বাঁকানো উচিত যাতে আপনি উপরের কভার ছাড়া একটি বাক্স পান। টাস্ক হল কাটা স্কোয়ারের আকার নির্বাচন করা যাতে ফলাফলটি সর্বাধিক আয়তনের একটি বাক্স হয়।

ভাত। 6. একটি আয়তক্ষেত্রাকার ফাঁকা থেকে উত্পাদন চিত্র যা এর মাত্রা নির্দেশ করে

এই সমস্যাটি গাণিতিকভাবে প্রণয়নের জন্য, সংশ্লিষ্ট অপ্টিমাইজেশন সমস্যার ভেরিয়েবল নির্ধারণ করা, উদ্দেশ্য ফাংশন সেট করা এবং সীমাবদ্ধতাগুলি নির্দিষ্ট করা প্রয়োজন। একটি পরিবর্তনশীল হিসাবে, আমাদের কাটা বর্গক্ষেত্র r-এর পাশের দৈর্ঘ্য নেওয়া উচিত, যা সাধারণ ক্ষেত্রে, সমস্যার অর্থপূর্ণ গঠনের উপর ভিত্তি করে, ক্রমাগত বাস্তব মান নেয়। উদ্দেশ্য ফাংশন ফলে বাক্সের আয়তন। যেহেতু বাক্সের গোড়ার পাশের দৈর্ঘ্য সমান: L - 2r, এবং বাক্সের উচ্চতা r এর সমান, তাহলে এর আয়তন সূত্র দ্বারা পাওয়া যায়: V (r) = (L -2r) 2 আর. শারীরিক বিবেচনার উপর ভিত্তি করে, ভেরিয়েবল r-এর মান ঋণাত্মক হতে পারে না এবং আসল ওয়ার্কপিস L-এর অর্ধেক আকারের বেশি হতে পারে না, অর্থাৎ 0.5L

r = 0 এবং r = 0.5 L এর মানের জন্য, বক্স সমস্যার সংশ্লিষ্ট সমাধানগুলি প্রকাশ করা হয়। প্রকৃতপক্ষে, প্রথম ক্ষেত্রে ওয়ার্কপিসটি অপরিবর্তিত থাকে, তবে দ্বিতীয় ক্ষেত্রে এটি 4টি অভিন্ন অংশে কাটা হয়। যেহেতু এই সমাধানগুলির একটি দৈহিক ব্যাখ্যা রয়েছে, তাই বাক্স সমস্যাটি, এটির গঠন এবং বিশ্লেষণের সুবিধার জন্য, অ-কঠোর অসমতার মতো সীমাবদ্ধতার সাথে একটি অপ্টিমাইজেশন হিসাবে বিবেচিত হতে পারে।

একীকরণের উদ্দেশ্যে, আমরা পরিবর্তনশীলটিকে x = r দ্বারা চিহ্নিত করি, যা অপ্টিমাইজেশান সমস্যা সমাধানের প্রকৃতিকে প্রভাবিত করে না। তারপর সর্বাধিক আয়তনের একটি বাক্সের সমস্যার গাণিতিক সূত্র নিম্নলিখিত আকারে লেখা যেতে পারে:

যেখানে (1)

এই সমস্যার উদ্দেশ্যমূলক কাজটি অরৈখিক, তাই সর্বাধিক আকারের বাক্স সমস্যাটি অরৈখিক প্রোগ্রামিং বা অরৈখিক অপ্টিমাইজেশন সমস্যার ক্লাসের অন্তর্গত।

2. সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণ পদ্ধতির শ্রেণীবিভাগ

প্রক্রিয়া অপ্টিমাইজেশান বিবেচনাধীন ফাংশনের সর্বোত্তম বা এই প্রক্রিয়াটি চালানোর জন্য সর্বোত্তম শর্তগুলি খুঁজে নিয়ে গঠিত।

সর্বোত্তম মূল্যায়ন করার জন্য, প্রথমত, একটি অপ্টিমাইজেশন মানদণ্ড নির্বাচন করা প্রয়োজন। সাধারণত, অপ্টিমাইজেশন মানদণ্ড নির্দিষ্ট শর্ত থেকে নির্বাচিত হয়। এটি একটি প্রযুক্তিগত মানদণ্ড হতে পারে (উদাহরণস্বরূপ, ডাম্প স্ল্যাগের মধ্যে Cu বিষয়বস্তু) বা একটি অর্থনৈতিক মানদণ্ড (প্রদত্ত শ্রম উত্পাদনশীলতায় একটি পণ্যের সর্বনিম্ন মূল্য), ইত্যাদি। নির্বাচিত অপ্টিমাইজেশন মানদণ্ডের উপর ভিত্তি করে, একটি উদ্দেশ্যমূলক ফাংশন সংকলিত হয়, যা প্রতিনিধিত্ব করে এর মান প্রভাবিত পরামিতি উপর অপ্টিমাইজেশান মানদণ্ডের নির্ভরতা। অপ্টিমাইজেশান সমস্যাটি অবজেক্টিভ ফাংশনের সীমানা খুঁজে বের করার জন্য নেমে আসে। বিবেচনাধীন গাণিতিক মডেলগুলির প্রকৃতির উপর নির্ভর করে, বিভিন্ন গাণিতিক অপ্টিমাইজেশন পদ্ধতি গ্রহণ করা হয়।

অপ্টিমাইজেশান সমস্যার সাধারণ গঠন নিম্নরূপ:

1. একটি মানদণ্ড নির্বাচন করুন৷

2. মডেল সমীকরণ সংকলিত হয়

3. একটি সীমাবদ্ধতা ব্যবস্থা আরোপ করা হয়

4. সমাধান

মডেল - রৈখিক বা অরৈখিক

বিধিনিষেধ

মডেলের কাঠামোর উপর নির্ভর করে, বিভিন্ন অপ্টিমাইজেশান পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়। এর মধ্যে রয়েছে:

1. বিশ্লেষণাত্মক অপ্টিমাইজেশান পদ্ধতি (এক্সট্রিমামের জন্য বিশ্লেষণাত্মক অনুসন্ধান, ল্যাগ্রেঞ্জ গুণক পদ্ধতি, পরিবর্তনশীল পদ্ধতি)

2. গাণিতিক প্রোগ্রামিং (লিনিয়ার প্রোগ্রামিং, ডাইনামিক প্রোগ্রামিং)

3. গ্রেডিয়েন্ট পদ্ধতি।

4. পরিসংখ্যান পদ্ধতি (রিগ্রেশন বিশ্লেষণ)

রৈখিক প্রোগ্রামিং. রৈখিক প্রোগ্রামিং সমস্যায়, সর্বোত্তমতার মানদণ্ড হিসাবে উপস্থাপন করা হয়:

যেখানে ধ্রুবক সহগ দেওয়া হয়; টাস্ক ভেরিয়েবল।

মডেল সমীকরণগুলি ফর্মের রৈখিক সমীকরণ (বহুপদ) যা সমতা বা অসমতার আকারে বিধিনিষেধ সাপেক্ষে, যেমন (2)

লিনিয়ার প্রোগ্রামিং সমস্যায় সাধারণত ধরে নেওয়া হয় যে সমস্ত স্বাধীন চলক X j অ-নেতিবাচক, যেমন

একটি রৈখিক প্রোগ্রামিং সমস্যার সর্বোত্তম সমাধান হল স্বাধীন ভেরিয়েবলের অ-নেতিবাচক মানগুলির একটি সেট

যা শর্তগুলি (2) সন্তুষ্ট করে এবং সমস্যাটির গঠনের উপর নির্ভর করে মানদণ্ডের সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন মান প্রদান করে।

জ্যামিতিক ব্যাখ্যা হল: - সমতা এবং অসমতার ধরন X 1 এবং X 2 ভেরিয়েবলের উপর সীমাবদ্ধতার উপস্থিতিতে মানদণ্ড

l রেখা বরাবর R এর একটি ধ্রুবক মান আছে। সর্বোত্তম সমাধান হবে S বিন্দুতে, কারণ এই মুহুর্তে মানদণ্ডটি সর্বাধিক হবে। লিনিয়ার প্রোগ্রামিংয়ের অপ্টিমাইজেশন সমস্যা সমাধানের একটি পদ্ধতি হল সিমপ্লেক্স পদ্ধতি।

অরৈখিক প্রোগ্রামিং. অরৈখিক প্রোগ্রামিং সমস্যার গাণিতিক গঠন নিম্নরূপ: উদ্দেশ্য ফাংশনের প্রান্তটি খুঁজুন , যা অরৈখিকতার ফর্ম আছে।

বিভিন্ন বিধিনিষেধ যেমন সমতা বা অসমতা স্বাধীন ভেরিয়েবলের উপর আরোপ করা হয়

বর্তমানে, ননলাইনার প্রোগ্রামিং সমস্যা সমাধানের জন্য মোটামুটি সংখ্যক পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়।

এর মধ্যে রয়েছে: 1) গ্রেডিয়েন্ট পদ্ধতি (গ্রেডিয়েন্ট পদ্ধতি, সবচেয়ে খাড়া ডিসেন্ট পদ্ধতি, চিত্র পদ্ধতি, রোজেনব্রক পদ্ধতি, ইত্যাদি)

2) গ্রেডিয়েন্ট-মুক্ত পদ্ধতি (গাউস-সিডেল পদ্ধতি, স্ক্যানিং পদ্ধতি)।

গ্রেডিয়েন্ট অপ্টিমাইজেশান পদ্ধতি

এই পদ্ধতিগুলি অনুসন্ধান প্রকারের সংখ্যাসূচক পদ্ধতির অন্তর্গত। এই পদ্ধতিগুলির সারমর্ম হল স্বাধীন ভেরিয়েবলের মানগুলি নির্ধারণ করা যা উদ্দেশ্য ফাংশনে সবচেয়ে বড় (ছোটতম) পরিবর্তন দেয়। এটি সাধারণত একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে কনট্যুর পৃষ্ঠে গ্রেডিয়েন্ট অর্থোগোনাল বরাবর সরানোর মাধ্যমে অর্জন করা হয়।

গ্রেডিয়েন্ট পদ্ধতি বিবেচনা করা যাক। এই পদ্ধতিটি উদ্দেশ্য ফাংশনের একটি গ্রেডিয়েন্ট ব্যবহার করে। গ্রেডিয়েন্ট পদ্ধতিতে, উদ্দেশ্য ফাংশনে দ্রুততম হ্রাসের দিকে পদক্ষেপ নেওয়া হয়।

ভাত। 8. গ্রেডিয়েন্ট পদ্ধতি ব্যবহার করে সর্বনিম্ন খুঁজে বের করা

সর্বোত্তম অনুসন্ধান দুটি পর্যায়ে বাহিত হয়:

পর্যায় 1: - সমস্ত স্বাধীন ভেরিয়েবলের জন্য আংশিক ডেরিভেটিভের মানগুলি খুঁজুন যা প্রশ্নবিন্দুতে গ্রেডিয়েন্টের দিক নির্ধারণ করে।

পর্যায় 2: - গ্রেডিয়েন্টের দিকের বিপরীত দিকে একটি পদক্ষেপ নেওয়া হয়, যেমন উদ্দেশ্য ফাংশনে দ্রুততম হ্রাসের দিকে।

গ্রেডিয়েন্ট পদ্ধতি অ্যালগরিদম নিম্নলিখিত হিসাবে লেখা যেতে পারে:

(3)

খাড়া ডিসেন্ট পদ্ধতিতে সর্বোত্তম দিকে চলার প্রকৃতি নিম্নরূপ (চিত্র 6.9), অপ্টিমাইজড ফাংশনের গ্রেডিয়েন্ট প্রাথমিক বিন্দুতে পাওয়া যাওয়ার পরে এবং এর দ্বারা নির্দিষ্ট বিন্দুতে এর দ্রুততম হ্রাসের দিকটি নির্ধারণ করা হয়, এই দিকে একটি উত্তরোত্তর পদক্ষেপ নেওয়া হয়। যদি এই পদক্ষেপের ফলে ফাংশনের মান হ্রাস পায়, তবে একই দিকে আরেকটি পদক্ষেপ নেওয়া হয় এবং এই দিকটিতে একটি সর্বনিম্ন পাওয়া না যাওয়া পর্যন্ত চলতে থাকে, যার পরে গ্রেডিয়েন্টটি আবার গণনা করা হয় এবং দ্রুততমটির একটি নতুন দিকনির্দেশনা করা হয়। উদ্দেশ্য ফাংশন হ্রাস নির্ধারিত হয়.

এক্সট্রিম অনুসন্ধানের জন্য গ্রেডিয়েন্ট-মুক্ত পদ্ধতি। এই পদ্ধতিগুলি, গ্রেডিয়েন্ট পদ্ধতির বিপরীতে, অনুসন্ধান প্রক্রিয়ার তথ্য ব্যবহার করে যা ডেরিভেটিভের বিশ্লেষণ থেকে প্রাপ্ত হয় না, তবে পরবর্তী পদক্ষেপটি সম্পাদন করার ফলে অনুকূলতার মানদণ্ডের মূল্যের তুলনামূলক মূল্যায়ন থেকে।

এক্সট্রিম অনুসন্ধানের জন্য গ্রেডিয়েন্ট-মুক্ত পদ্ধতিগুলির মধ্যে রয়েছে:

1. গোল্ডেন রেশিও পদ্ধতি

2. ফিবোনিয়াম সংখ্যা ব্যবহার করে পদ্ধতি

3. গাউস-সিডেল পদ্ধতি (একটি পরিবর্তনশীল পরিবর্তন পাওয়ার পদ্ধতি)

4. স্ক্যানিং পদ্ধতি, ইত্যাদি

সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণ

আন্দ্রে আলেকজান্দ্রোভিচ আগ্রাচেভ

পরিপূর্ণতার জন্য চেষ্টা করা মানুষের স্বভাব। গণিতে, এটি সর্বোত্তম এবং সর্বনিম্ন সমস্যা সহ সর্বোত্তম (অনুকূল) সমাধানগুলির সন্ধানে নিজেকে প্রকাশ করে। সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণের তত্ত্বটি সেইগুলিকে অন্তর্ভুক্ত করে যেখানে সমাধানের কিছু পরিমাণে সময় বা স্থান রয়েছে। খুব রুক্ষ ভূখণ্ডের মধ্য দিয়ে যাওয়ার সময় একটি উপযুক্ত চিত্র সর্বোত্তম পথকে চার্ট করে।

সাধারণভাবে, গণিতবিদরা, সমস্ত লোকের মতো, চাক্ষুষ চিত্রগুলির খুব পছন্দ করেন, তবে বাস্তবে আমরা এমন কোনও সিস্টেমের কথা বলছি যা একটি নির্দিষ্ট সীমার মধ্যে ক্রমাগত পরিবর্তন করা যেতে পারে, ঠিক যেমন আমরা একটি পথ তৈরি করার সময় চলাচলের দিক পরিবর্তন করি। অন্যান্য উপযুক্ত উদাহরণ: একটি গাড়ি, একটি বিমান, একটি প্রযুক্তিগত প্রক্রিয়া, বা, শেষ পর্যন্ত, আপনার শরীর নিয়ন্ত্রণ করা।

একটি প্রদত্ত অবস্থা থেকে কাঙ্খিত অবস্থায় সিস্টেমটিকে সর্বোত্তমভাবে স্থানান্তর করা প্রয়োজন: যত তাড়াতাড়ি সম্ভব, বা সবচেয়ে অর্থনৈতিক উপায়ে, বা সর্বাধিক সুবিধা সহ, বা আরও কিছু জটিল মানদণ্ড অনুসারে; আমরা নিজেরাই সিদ্ধান্ত নিই কোনটা বেশি গুরুত্বপূর্ণ। যদি আমাদের কর্মের প্রতি সিস্টেমের তাৎক্ষণিক প্রতিক্রিয়া সুপরিচিত হয়, তাহলে সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণের তত্ত্বটি আমাদের সর্বোত্তম দীর্ঘমেয়াদী কৌশল খুঁজে পেতে সাহায্য করার জন্য ডিজাইন করা হয়েছে। এখানে একটি সাধারণ উদাহরণ: আপনাকে যত তাড়াতাড়ি সম্ভব দোলনগুলি বন্ধ করতে হবে (বলুন, "সুইং" বন্ধ করুন), প্রথমে আপনার ছোট শক্তি প্রয়োগ করুন একদিকে, তারপরে অন্য দিকে। আপনাকে অনেকবার একপাশ থেকে অন্য দিকে যেতে হবে। এটা করার নিয়ম কি? এটা স্পষ্ট যে "সুইং" আর্থিক, অর্থনৈতিক, এবং শারীরিক এবং প্রযুক্তিগত হতে পারে ...

এটি লক্ষণীয় যে সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণের তত্ত্বের মতো একটি স্পষ্টভাবে প্রয়োগ করা বিষয় বিশুদ্ধ গণিতবিদ লেভ সেমিওনোভিচ পন্ট্রিয়াগিন এবং তার ছাত্র, পেশাদার টপোলজিস্টদের দ্বারা স্টেক্লভ গাণিতিক ইনস্টিটিউটে তৈরি করা হয়েছিল। এই তত্ত্বের প্রথম চিত্তাকর্ষক প্রয়োগ যা এটিকে খ্যাতি এনে দেয় সোভিয়েত স্পেস প্রোগ্রাম এবং আমেরিকান অ্যাপোলো প্রোগ্রামে। এই প্রোগ্রামগুলিতে, সমস্ত কিছু ক্ষমতার সীমাতে করা হয়েছিল এবং স্মার্ট অপ্টিমাইজেশন ছাড়া এটি মোকাবেলা করা অসম্ভব ছিল। সেই সময়ে জনপ্রিয় কাজগুলির মধ্যে, একটি উপবৃত্তাকার কক্ষপথ থেকে অন্য একটি মহাকাশযানের সবচেয়ে অর্থনৈতিক স্থানান্তর এবং চাঁদে একটি নরম অবতরণ লক্ষ্য করা যায়। সেই সময়ের প্রধান কৃতিত্ব ছিল পন্ট্রিয়াগিনের সর্বাধিক নীতি - একটি শক্তিশালী সর্বজনীন হাতিয়ার যা আপনাকে নিয়ন্ত্রণ কৌশলগুলির একটি মোটামুটি সংকীর্ণ শ্রেণি নির্বাচন করতে দেয়, যার মধ্যে কেবলমাত্র সর্বোত্তম হতে পারে।

Pontryagin-এর সর্বোচ্চ নীতিটি সাধারণ "রৈখিক" মডেলগুলিতে প্রয়োগ করা হলে বিশেষত ভাল, কিন্তু এর কার্যকারিতা হারায় এবং আরও জটিল অরৈখিক কাঠামোর সাথে সিস্টেমগুলি অধ্যয়ন করার সময় অন্যান্য উপায়ে সম্পূরক হওয়া আবশ্যক। আসুন সুইং উদাহরণে ফিরে যাই। যদি দোলন প্রশস্ততা ছোট হয়, তবে সিস্টেমটি প্রায় রৈখিক এবং দোলন সময়টি প্রশস্ততা থেকে প্রায় স্বাধীন। সর্বাধিক নীতিটি একটি রৈখিক আনুমানিকতার জন্য সর্বোত্তম আচরণের একটি সহজ এবং দ্ব্যর্থহীন আইন দেয়: আপনাকে ঠিক অর্ধেক সময় পরে একপাশ থেকে অন্য দিকে যেতে হবে এবং প্রতিবার সর্বাধিক সম্ভাব্য শক্তি ব্যবহার করতে হবে। একই সময়ে, একটি বৃহৎ প্রশস্ততায়, যখন সিস্টেমটি উল্লেখযোগ্যভাবে অরৈখিক হয়, সর্বাধিক নীতির সুপারিশগুলি ব্যাপকভাবে জটিল হয়ে ওঠে এবং দ্ব্যর্থহীন হওয়া বন্ধ করে দেয়।

সর্বোত্তম আচরণের নতুন নিয়ম, সর্বাধিক নীতির পরিপূরক, জ্যামিতিক নিয়ন্ত্রণ তত্ত্ব দ্বারা সরবরাহ করা হয় যা বর্তমানে সক্রিয়ভাবে বিকাশ করা হচ্ছে। আসল বিষয়টি হ'ল আধুনিক জ্যামিতি আপনাকে নিয়ন্ত্রণ ক্ষমতাগুলিকে ব্যাপকভাবে প্রসারিত করতে দেয়, বেশ কয়েকটি সাধারণ কৌশল প্রয়োগের ক্রম এবং সময়কালের সাথে খেলতে, কৌশলগুলির সর্বোত্তম "সুসংগত" সংমিশ্রণ নির্বাচন করে, যার প্রতিটির ফলাফল সুপরিচিত এবং বেশ সাধারণ। এটি একটি সিম্ফনি যেভাবে বেশ কয়েকটি নোটের সমন্বয়ে গঠিত তার অনুরূপ, শুধুমাত্র গণিতে সবকিছুই আরও সুনির্দিষ্ট, কঠোর এবং আরও প্রতিসম, যদিও এতটা আবেগপূর্ণ নয়।

জ্যামিতিক নিয়ন্ত্রণ তত্ত্বটি স্পেস নেভিগেশন, রোবোটিক্স এবং অন্যান্য অনেক ক্ষেত্রে ব্যবহৃত হয়, তবে সম্ভবত সবচেয়ে জনপ্রিয় আধুনিক অ্যাপ্লিকেশনগুলি কোয়ান্টাম সিস্টেমে (পারমাণবিক চৌম্বকীয় অনুরণন মেডিকেল ডিভাইস থেকে পৃথক অণুর রাসায়নিক ম্যানিপুলেশন পর্যন্ত)। জ্যামিতিক নিয়ন্ত্রণ তত্ত্বের কবজ অন্যান্য জিনিসের মধ্যে নিহিত রয়েছে, সুন্দর এবং গভীর বিমূর্ত গাণিতিক ধারণাগুলিকে বাস্তবায়িত করার, দেখার এবং "স্পর্শ" করার বিরল সুযোগের মধ্যে, এবং অবশ্যই, নতুনগুলি তৈরি করা!

সাহিত্য

টিখোমিরভ ভি এম।উচ্চ এবং নিম্ন সম্পর্কে গল্প. - এম.: নাউকা, 1986। - (লাইব্রেরি "কোয়ান্টাম"; ইস্যু 56)। — [পুনঃমুদ্রণ: M.: MTsNMO, 2006, 2017]।

প্রোটাসভ ভি.ইউ.জ্যামিতিতে সর্বোচ্চ এবং সর্বনিম্ন। - এম.: MTsNMO, 2012। - (লাইব্রেরি "গাণিতিক শিক্ষা"; সংখ্যা 31)।

একটি সর্বোত্তম স্বয়ংক্রিয় নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা ডিজাইন করতে, অপ-অ্যাম্প সম্পর্কে সম্পূর্ণ তথ্য, বিরক্তিকর এবং মাস্টার প্রভাব এবং অপ-অ্যাম্পের প্রাথমিক এবং চূড়ান্ত অবস্থার প্রয়োজন। এর পরে, আপনাকে একটি সর্বোত্তমতার মানদণ্ড নির্বাচন করতে হবে। সিস্টেমের মানের সূচকগুলির মধ্যে একটি যেমন একটি মানদণ্ড হিসাবে ব্যবহার করা যেতে পারে। যাইহোক, স্বতন্ত্র মানের সূচকগুলির প্রয়োজনীয়তাগুলি সাধারণত পরস্পরবিরোধী হয় (উদাহরণস্বরূপ, স্থিতিশীলতার মার্জিন হ্রাস করে সিস্টেমের নির্ভুলতা বৃদ্ধি করা হয়)। উপরন্তু, একটি সর্বোত্তম সিস্টেমে ন্যূনতম সম্ভাব্য ত্রুটি থাকা উচিত শুধুমাত্র একটি নির্দিষ্ট নিয়ন্ত্রণ ক্রিয়া সম্পাদন করার সময়, কিন্তু সিস্টেমের পুরো অপারেটিং সময় জুড়ে। এটিও বিবেচনায় নেওয়া উচিত যে সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণ সমস্যার সমাধান কেবল সিস্টেমের কাঠামোর উপর নয়, এর উপাদান উপাদানগুলির পরামিতির উপরও নির্ভর করে।

ACS-এর সর্বোত্তম কার্যকারিতা অর্জন করা অনেকাংশে নির্ধারিত হয় সময়ের সাথে কীভাবে নিয়ন্ত্রণ করা হয়, প্রোগ্রামটি কী বা নিয়ন্ত্রণ অ্যালগরিদম।এই বিষয়ে, সিস্টেমের সর্বোত্তমতা মূল্যায়ন করার জন্য, অবিচ্ছেদ্য মানদণ্ড ব্যবহার করা হয়, নিয়ন্ত্রণ প্রক্রিয়ার পুরো সময়ের জন্য ডিজাইনারদের আগ্রহের সিস্টেম মানের প্যারামিটারের মানগুলির সমষ্টি হিসাবে গণনা করা হয়।

গৃহীত অনুকূলতার মানদণ্ডের উপর নির্ভর করে, নিম্নলিখিত ধরণের সর্বোত্তম সিস্টেমগুলি বিবেচনা করা হয়।

1. সিস্টেম, কর্মক্ষমতা জন্য সর্বোত্তম, যা এক রাজ্য থেকে অন্য রাজ্যে অপ-অ্যাম্প স্থানান্তর করার জন্য সর্বনিম্ন সময় প্রদান করে। এই ক্ষেত্রে, সর্বোত্তমতা মানদণ্ড এই মত দেখায়:

যেখানে / n এবং / k হল নিয়ন্ত্রণ প্রক্রিয়ার শুরু এবং শেষের মুহূর্ত।

এই ধরনের সিস্টেমে, নিয়ন্ত্রণ প্রক্রিয়ার সময়কাল ন্যূনতম। সবচেয়ে সহজ উদাহরণ হল একটি ইঞ্জিন কন্ট্রোল সিস্টেম যা বিদ্যমান সমস্ত বিধিনিষেধকে বিবেচনায় রেখে একটি প্রদত্ত গতিতে ত্বরণের জন্য সর্বনিম্ন সময় প্রদান করে।

2. সিস্টেম, সম্পদ ব্যবহারের ক্ষেত্রে সর্বোত্তম, যা ন্যূনতম মানদণ্ডের নিশ্চয়তা দেয়

কোথায় প্রতি- আনুপাতিকতা সহগ; U(t)- নিয়ন্ত্রণ কর্ম।

যেমন একটি ইঞ্জিন ম্যানেজমেন্ট সিস্টেম নিশ্চিত করে, উদাহরণস্বরূপ, সমগ্র নিয়ন্ত্রণ সময়কালে ন্যূনতম জ্বালানী খরচ।

3. সিস্টেম, নিয়ন্ত্রণ ক্ষতি পরিপ্রেক্ষিতে সর্বোত্তম(বা নির্ভুলতা), যা মানদণ্ডের উপর ভিত্তি করে ন্যূনতম নিয়ন্ত্রণ ত্রুটি প্রদান করে যেখানে e(f) হল গতিশীল ত্রুটি।

নীতিগতভাবে, একটি সর্বোত্তম স্বয়ংক্রিয় নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা ডিজাইন করার সমস্যাটি সমস্ত সম্ভাব্য বিকল্পগুলি গণনা করার সহজ পদ্ধতি দ্বারা সমাধান করা যেতে পারে। অবশ্যই, এই পদ্ধতির জন্য অনেক সময় প্রয়োজন, তবে আধুনিক কম্পিউটারগুলি কিছু ক্ষেত্রে এটি ব্যবহার করা সম্ভব করে তোলে। অপ্টিমাইজেশান সমস্যাগুলি সমাধান করার জন্য, বৈচিত্র্যের ক্যালকুলাসের বিশেষ পদ্ধতিগুলি তৈরি করা হয়েছে (সর্বোচ্চ পদ্ধতি, গতিশীল প্রোগ্রামিং পদ্ধতি, ইত্যাদি), যা বাস্তব সিস্টেমের সমস্ত সীমাবদ্ধতাগুলিকে বিবেচনায় নেওয়া সম্ভব করে।

একটি উদাহরণ হিসাবে, আসুন বিবেচনা করা যাক একটি ডিসি বৈদ্যুতিক মোটরের সর্বোত্তম গতি নিয়ন্ত্রণ কী হওয়া উচিত যদি এটিতে সরবরাহ করা ভোল্টেজ সীমা মান দ্বারা সীমাবদ্ধ থাকে (/lr, এবং মোটরটি নিজেই একটি 2য় অর্ডার এপিরিওডিক লিঙ্ক হিসাবে উপস্থাপন করা যেতে পারে (চিত্র 13.9, ক)।

সর্বাধিক পদ্ধতি আপনাকে পরিবর্তনের আইন গণনা করতে দেয় u(d),ঘূর্ণন গতিতে ইঞ্জিন ত্বরণের জন্য সর্বনিম্ন সময় নিশ্চিত করা (চিত্র 13.9, খ)।এই মোটরের নিয়ন্ত্রণ প্রক্রিয়াটি অবশ্যই দুটি ব্যবধান নিয়ে গঠিত, যার প্রতিটিতে ভোল্টেজ আপনি (টি)এর সর্বোচ্চ অনুমোদনযোগ্য মান নেয় (ব্যবধান 0 - /,: আপনি (টি)= +?/ প্রাক্তন, ব্যবধানে /| - / 2: আপনি (টি)= -?/ pr)* এই ধরনের নিয়ন্ত্রণ নিশ্চিত করতে, একটি রিলে উপাদান অবশ্যই সিস্টেমে অন্তর্ভুক্ত করতে হবে।

প্রচলিত সিস্টেমের মতো, সর্বোত্তম সিস্টেমগুলি হল ওপেন-লুপ, ক্লোজড-লুপ এবং মিলিত। যদি সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণ যা অপ-অ্যাম্পকে প্রারম্ভিক অবস্থা থেকে চূড়ান্ত অবস্থায় স্থানান্তর করে এবং স্বাধীন বা দুর্বলভাবে বিরক্তিকর প্রভাবের উপর নির্ভর করে তবে সময়ের ফাংশন হিসাবে নির্দিষ্ট করা যেতে পারে উ= (/(/), তারপর আমরা নির্মাণ করি ওপেন-লুপ সিস্টেমপ্রোগ্রাম নিয়ন্ত্রণ (চিত্র 13.10, ক)।

সর্বোত্তম প্রোগ্রাম P, গৃহীত সর্বোত্তমতার মাপকাঠির সীমানা অর্জনের জন্য ডিজাইন করা হয়েছে, এটি PU সফ্টওয়্যার ডিভাইসে এম্বেড করা হয়েছে। এই স্কিম অনুযায়ী, ব্যবস্থাপনা বাহিত হয়

ভাত। 13.9।

ক- একটি সাধারণ নিয়ন্ত্রণ ডিভাইস সহ; খ -দুই-স্তরের নিয়ামক সহ

যন্ত্র

ভাত। 13.10। সর্বোত্তম সিস্টেমের স্কিম: ক- খোলা; খ- মিলিত

সংখ্যাগতভাবে নিয়ন্ত্রিত মেশিন এবং সাধারণ রোবট ব্যবহার করে, কক্ষপথে রকেট চালু করা ইত্যাদি।

সবচেয়ে উন্নত, যদিও সবচেয়ে জটিল, হয় একত্রিত সর্বোত্তম সিস্টেম(চিত্র 13.10, খ)।এই ধরনের সিস্টেমে, একটি উন্মুক্ত লুপ একটি প্রদত্ত প্রোগ্রাম অনুযায়ী সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণ বহন করে এবং একটি বন্ধ লুপ, ত্রুটি কমানোর জন্য অপ্টিমাইজ করা, আউটপুট পরামিতিগুলির বিচ্যুতি প্রক্রিয়া করে। ব্যাঘাত পরিমাপের দড়ি /* ব্যবহার করে, ড্রাইভিং এবং বিরক্তিকর প্রভাবগুলির সম্পূর্ণ সেটের ক্ষেত্রে সিস্টেমটি অপরিবর্তনীয় হয়ে যায়।

এই ধরনের একটি নিখুঁত নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা বাস্তবায়ন করার জন্য, সমস্ত বিরক্তিকর প্রভাবগুলি সঠিকভাবে এবং দ্রুত পরিমাপ করা প্রয়োজন। যাইহোক, এই সম্ভাবনা সবসময় পাওয়া যায় না. প্রায়শই, শুধুমাত্র গড় পরিসংখ্যানগত ডেটা বিরক্তিকর প্রভাব সম্পর্কে জানা যায়। অনেক ক্ষেত্রে, বিশেষ করে টেলিকন্ট্রোল সিস্টেমে, এমনকি চালিকা শক্তিও শব্দের সাথে সিস্টেমে প্রবেশ করে। এবং যেহেতু হস্তক্ষেপ, সাধারণভাবে, একটি এলোমেলো প্রক্রিয়া, এটি শুধুমাত্র সংশ্লেষণ করা সম্ভব পরিসংখ্যানগতভাবে সর্বোত্তম সিস্টেম।এই ধরনের সিস্টেমের জন্য সর্বোত্তম হবে না প্রতিটিনিয়ন্ত্রণ প্রক্রিয়ার সুনির্দিষ্ট বাস্তবায়ন, তবে এটি বাস্তবায়নের সম্পূর্ণ সেটের জন্য গড় সেরা হবে।

পরিসংখ্যানগতভাবে সর্বোত্তম সিস্টেমের জন্য, গড় সম্ভাব্য অনুমানগুলি সর্বোত্তমতার মানদণ্ড হিসাবে ব্যবহৃত হয়। উদাহরণস্বরূপ, ন্যূনতম ত্রুটির জন্য অপ্টিমাইজ করা একটি ট্র্যাকিং সিস্টেমের জন্য, নির্দিষ্ট মান থেকে আউটপুট প্রভাবের বর্গক্ষেত্র বিচ্যুতির গাণিতিক প্রত্যাশা সর্বোত্তমতার জন্য পরিসংখ্যানগত মানদণ্ড হিসাবে ব্যবহৃত হয়, যেমন ভিন্নতা:

অন্যান্য সম্ভাব্য মানদণ্ডও ব্যবহার করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, একটি লক্ষ্য সনাক্তকরণ ব্যবস্থায়, যেখানে শুধুমাত্র একটি লক্ষ্যের উপস্থিতি বা অনুপস্থিতি গুরুত্বপূর্ণ, একটি ভুল সিদ্ধান্তের সম্ভাব্যতা একটি অনুকূলতার মানদণ্ড হিসাবে ব্যবহৃত হয় রোশ:

কোথায় আর পি ts হল লক্ষ্য মিস হওয়ার সম্ভাবনা; আর এলও- মিথ্যা সনাক্তকরণের সম্ভাবনা।

অনেক ক্ষেত্রে, গণনা করা সর্বোত্তম স্বয়ংক্রিয় নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থাগুলি তাদের জটিলতার কারণে বাস্তবায়িত করা কার্যত অসম্ভব হয়ে ওঠে। একটি নিয়ম হিসাবে, ইনপুট প্রভাব থেকে উচ্চ-অর্ডার ডেরিভেটিভের সঠিক মানগুলি প্রাপ্ত করা প্রয়োজন, যা প্রয়োগ করা প্রযুক্তিগতভাবে খুব কঠিন। প্রায়শই, এমনকি একটি সর্বোত্তম সিস্টেমের একটি তাত্ত্বিক সঠিক সংশ্লেষণ অসম্ভব হয়ে ওঠে। যাইহোক, সর্বোত্তম নকশা পদ্ধতিগুলি আধা-অনুকূল সিস্টেমগুলি তৈরি করা সম্ভব করে, যদিও এক ডিগ্রী বা অন্যে সরলীকৃত, তবে এখনও একজনকে চরমের কাছাকাছি গৃহীত অনুকূলতার মানদণ্ডের মানগুলি অর্জন করতে দেয়।

সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণ

সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণএকটি সিস্টেম ডিজাইন করার কাজ যা একটি প্রদত্ত নিয়ন্ত্রণ বস্তু বা প্রক্রিয়ার জন্য, একটি নিয়ন্ত্রণ আইন বা প্রভাবগুলির একটি নিয়ন্ত্রণ ক্রম যা সিস্টেমের গুণমানের মানদণ্ডের একটি নির্দিষ্ট সেটের সর্বাধিক বা সর্বনিম্ন নিশ্চিত করে।

সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণ সমস্যা সমাধানের জন্য, নিয়ন্ত্রিত বস্তু বা প্রক্রিয়ার একটি গাণিতিক মডেল তৈরি করা হয়, যা নিয়ন্ত্রণ ক্রিয়া এবং এর নিজস্ব বর্তমান অবস্থার প্রভাবে সময়ের সাথে এর আচরণ বর্ণনা করে। সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণ সমস্যার জন্য গাণিতিক মডেল অন্তর্ভুক্ত: নিয়ন্ত্রণ লক্ষ্য প্রণয়ন, নিয়ন্ত্রণ মানের মানদণ্ডের মাধ্যমে প্রকাশ করা; কন্ট্রোল অবজেক্টের চলাচলের সম্ভাব্য উপায় বর্ণনা করে ডিফারেনশিয়াল বা পার্থক্য সমীকরণ নির্ধারণ; সমীকরণ বা অসমতার আকারে ব্যবহৃত সম্পদের উপর সীমাবদ্ধতা নির্ধারণ।

কন্ট্রোল সিস্টেমের ডিজাইনে সর্বাধিক ব্যবহৃত পদ্ধতিগুলি হল বৈচিত্র্যের ক্যালকুলাস, পন্ট্রিয়াগিনের সর্বোচ্চ নীতি এবং বেলম্যান ডায়নামিক প্রোগ্রামিং।

কখনও কখনও (উদাহরণস্বরূপ, ধাতুবিদ্যায় ব্লাস্ট ফার্নেসের মতো জটিল বস্তু পরিচালনা করার সময় বা অর্থনৈতিক তথ্য বিশ্লেষণ করার সময়), সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণ সমস্যা সেট করার সময় নিয়ন্ত্রিত বস্তু সম্পর্কে প্রাথমিক তথ্য এবং জ্ঞানে অনিশ্চিত বা অস্পষ্ট তথ্য থাকে যা ঐতিহ্যগতভাবে প্রক্রিয়া করা যায় না। পরিমাণগত পদ্ধতি. এই ধরনের ক্ষেত্রে, আপনি ফাজি সেটের গাণিতিক তত্ত্বের উপর ভিত্তি করে সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণ অ্যালগরিদম ব্যবহার করতে পারেন (ফজি নিয়ন্ত্রণ)। ব্যবহৃত ধারণা এবং জ্ঞান অস্পষ্ট আকারে রূপান্তরিত হয়, সিদ্ধান্ত গ্রহণের জন্য অস্পষ্ট নিয়ম নির্ধারণ করা হয়, এবং তারপর অস্পষ্ট সিদ্ধান্তগুলিকে আবার শারীরিক নিয়ন্ত্রণ ভেরিয়েবলে রূপান্তরিত করা হয়।

সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণ সমস্যা

আসুন সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণ সমস্যা প্রণয়ন করি:

এখানে রাষ্ট্রীয় ভেক্টর - নিয়ন্ত্রণ, - সময়ের প্রাথমিক এবং চূড়ান্ত মুহূর্ত।

সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণ সমস্যা হল সময়ের জন্য রাষ্ট্র এবং নিয়ন্ত্রণ ফাংশন খুঁজে বের করা যা কার্যকারিতা কমিয়ে দেয়।

বৈচিত্র্যের ক্যালকুলাস

আসুন বৈচিত্র্যের ক্যালকুলাসে এই সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণ সমস্যাটিকে ল্যাগ্রেঞ্জ সমস্যা হিসাবে বিবেচনা করি। এক্সট্রিমামের জন্য প্রয়োজনীয় শর্তগুলি খুঁজে পেতে, আমরা অয়লার-ল্যাগ্রঞ্জ উপপাদ্য প্রয়োগ করি। Lagrange ফাংশন ফর্ম আছে: , যেখানে সীমানা শর্ত আছে. Lagrangian এর ফর্ম আছে: , যেখানে , , হল Lagrange multipliers এর n-মাত্রিক ভেক্টর।

এই উপপাদ্য অনুসারে একটি চরমের জন্য প্রয়োজনীয় শর্তগুলির ফর্ম রয়েছে:

প্রয়োজনীয় শর্ত (3-5) সর্বোত্তম ট্র্যাজেক্টোরি নির্ধারণের ভিত্তি তৈরি করে। এই সমীকরণগুলি লেখার পরে, আমরা একটি দুই-পয়েন্ট সীমানা সমস্যা পাই, যেখানে সীমানা শর্তগুলির কিছু অংশ সময়ের প্রাথমিক মুহুর্তে নির্দিষ্ট করা হয় এবং বাকিটি চূড়ান্ত মুহুর্তে। এই ধরনের সমস্যা সমাধানের পদ্ধতি বইটিতে বিস্তারিত আলোচনা করা হয়েছে।

পন্ট্রিয়াগিনের সর্বোচ্চ নীতি

Pontryagin সর্বোচ্চ নীতির প্রয়োজনীয়তা সেই ক্ষেত্রে দেখা দেয় যখন নিয়ন্ত্রণ ভেরিয়েবলের গ্রহণযোগ্য পরিসরের কোথাও প্রয়োজনীয় শর্ত (3) পূরণ করা সম্ভব হয় না, যথা।

এই ক্ষেত্রে, শর্ত (3) শর্ত (6) দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়:

(6)

এই ক্ষেত্রে, পন্ট্রিয়াগিনের সর্বোচ্চ নীতি অনুসারে, সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণের মান গ্রহণযোগ্য সীমার এক প্রান্তে নিয়ন্ত্রণের মানের সমান। পন্ট্রিয়াগিনের সমীকরণগুলি সম্পর্কের দ্বারা সংজ্ঞায়িত হ্যামিলটন ফাংশন H ব্যবহার করে লেখা হয়। সমীকরণ থেকে এটি অনুসরণ করে যে হ্যামিল্টন ফাংশন H নিম্নলিখিতভাবে ল্যাগ্রঞ্জ ফাংশন L এর সাথে সম্পর্কিত: . শেষ সমীকরণ থেকে L-কে সমীকরণে প্রতিস্থাপিত করে (3-5) আমরা হ্যামিলটন ফাংশনের মাধ্যমে প্রয়োজনীয় শর্তগুলি পাই:

এই ফর্মে লিখিত প্রয়োজনীয় শর্তগুলিকে পন্ট্রিয়াগিন সমীকরণ বলা হয়। পন্ট্রিয়াগিনের সর্বাধিক নীতিটি বইটিতে আরও বিশদে আলোচনা করা হয়েছে।

এটা কোথায় ব্যবহার করা হয়?

সর্বাধিক গতি এবং ন্যূনতম শক্তি খরচ সহ নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থায় সর্বাধিক নীতি বিশেষভাবে গুরুত্বপূর্ণ, যেখানে রিলে-টাইপ নিয়ন্ত্রণগুলি ব্যবহার করা হয় যা অনুমোদিত নিয়ন্ত্রণ ব্যবধানের মধ্যে মধ্যবর্তী মানগুলির পরিবর্তে চরম গ্রহণ করে।

গল্প

সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণের তত্ত্বের বিকাশের জন্য L.S. পন্ট্রিয়াগিন এবং তার সহযোগীরা ভি.জি. বোল্টিয়ানস্কি, আর.ভি. Gamkrelidze এবং E.F. মিশচেঙ্কো 1962 সালে লেনিন পুরস্কারে ভূষিত হন।

ডায়নামিক প্রোগ্রামিং পদ্ধতি

গতিশীল প্রোগ্রামিং পদ্ধতিটি বেলম্যানের সর্বোত্তমতার নীতির উপর ভিত্তি করে তৈরি করা হয়েছে, যা নিম্নরূপ প্রণয়ন করা হয়েছে: সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণ কৌশলটির এমন বৈশিষ্ট্য রয়েছে যে প্রক্রিয়ার শুরুতে প্রাথমিক অবস্থা এবং নিয়ন্ত্রণ যাই হোক না কেন, পরবর্তী নিয়ন্ত্রণগুলি অবশ্যই একটি সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণ কৌশল গঠন করবে প্রক্রিয়ার প্রাথমিক পর্যায়ে পরে প্রাপ্ত রাষ্ট্র. ডায়নামিক প্রোগ্রামিং পদ্ধতি বইটিতে আরও বিশদে বর্ণনা করা হয়েছে

মন্তব্য

সাহিত্য

1. রাস্ট্রিগিন এল.এ. জটিল বস্তু পরিচালনার আধুনিক নীতি। - এম.: সোভ। রেডিও, 1980। - 232 পি।, BBK 32.815, ড্যাশ। 12000 কপি
2. আলেকসিভ ভিএম, টিখোমিরভ ভিএম। , Fomin S.V. সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণ। - M.: Nauka, 1979, UDC 519.6, - 223 pp., ড্যাশ। 24000 কপি

আরো দেখুন

উইকিমিডিয়া ফাউন্ডেশন। 2010।

অন্যান্য অভিধানে "অনুকূল নিয়ন্ত্রণ" কী তা দেখুন:

সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণ- OU কন্ট্রোল যা প্রদত্ত বিধিনিষেধের অধীনে নিয়ন্ত্রণের কার্যকারিতা চিহ্নিত করে একটি নির্দিষ্ট অনুকূলতার মানদণ্ডের (OC) সবচেয়ে অনুকূল মান প্রদান করে। বিভিন্ন প্রযুক্তিগত বা অর্থনৈতিক....... আদর্শিক এবং প্রযুক্তিগত ডকুমেন্টেশনের শর্তাবলীর অভিধান-রেফারেন্স বই

সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণ- ব্যবস্থাপনা, যার উদ্দেশ্য হল ব্যবস্থাপনার গুণমান নির্দেশকের চরম মান নিশ্চিত করা। [প্রস্তাবিত পদের সংগ্রহ। ইস্যু 107. ব্যবস্থাপনা তত্ত্ব। ইউএসএসআর-এর বিজ্ঞান একাডেমি। বৈজ্ঞানিক ও প্রযুক্তিগত পরিভাষা কমিটি। 1984] …… প্রযুক্তিগত অনুবাদকের গাইড

সর্বোত্তম নিয়ন্ত্রণ- 1. সর্বোত্তম প্রক্রিয়াগুলির গাণিতিক তত্ত্বের মৌলিক ধারণা (একই নামে গণিতের শাখার অন্তর্গত: "O.u"); মানে নিয়ন্ত্রণ পরামিতি নির্বাচন যা... থেকে সেরা প্রদান করবে। অর্থনৈতিক-গাণিতিক অভিধান

প্রদত্ত অবস্থার অধীনে (প্রায়ই পরস্পরবিরোধী), সর্বোত্তম সম্ভাব্য উপায়ে লক্ষ্য অর্জনের অনুমতি দেয়, উদাহরণস্বরূপ। সর্বনিম্ন সময়ে, সর্বাধিক অর্থনৈতিক প্রভাব সহ, সর্বাধিক নির্ভুলতার সাথে... বড় বিশ্বকোষীয় অভিধান

এয়ারক্রাফ্ট হল ফ্লাইট ডাইনামিকসের একটি বিভাগ যা বিমানের গতি নিয়ন্ত্রণের আইন এবং এর ট্র্যাজেক্টোরিগুলি নির্ধারণ করতে অপ্টিমাইজেশন পদ্ধতিগুলির বিকাশ এবং ব্যবহারে নিবেদিত হয় যা নির্বাচিত মানদণ্ডের সর্বাধিক বা সর্বনিম্ন প্রদান করে... ... প্রযুক্তির এনসাইক্লোপিডিয়া

গণিতের একটি শাখা যা অ-শাস্ত্রীয় পরিবর্তনজনিত সমস্যা অধ্যয়ন করে। প্রযুক্তি যে বস্তুগুলির সাথে কাজ করে সেগুলি সাধারণত "রুডার" দিয়ে সজ্জিত থাকে; তাদের সাহায্যে, একজন ব্যক্তি চলাচল নিয়ন্ত্রণ করে। গাণিতিকভাবে, এই জাতীয় বস্তুর আচরণ বর্ণনা করা হয়... ... গ্রেট সোভিয়েত এনসাইক্লোপিডিয়া