কোর্সের কাজ: সীমিত অপেক্ষার সময় সহ সারিবদ্ধ ব্যবস্থা। পাঠের সারাংশ "সারিবদ্ধ সিস্টেমের তত্ত্ব" সীমিত সারি উদাহরণ সহ একক-চ্যানেল সারিবদ্ধ পরিষেবা

সারিবদ্ধ সিস্টেমের কার্যকারিতা বা দক্ষতা নিম্নরূপ।

জন্য ব্যর্থতার সাথে QS:

জন্য সীমাহীন অপেক্ষা সহ SMOপরম এবং আপেক্ষিক উভয় থ্রুপুট তাদের অর্থ হারিয়ে ফেলে, যেহেতু প্রতিটি আগত অনুরোধ শীঘ্র বা পরে পরিসেবা করা হবে। এই জাতীয় QS-এর জন্য, গুরুত্বপূর্ণ সূচকগুলি হল:

জন্য মিশ্র ধরনের QSউভয় গ্রুপের সূচক ব্যবহার করা হয়: উভয় আপেক্ষিক এবং পরম থ্রুপুট, এবং প্রত্যাশার বৈশিষ্ট্য।

সারিবদ্ধ অপারেশনের উদ্দেশ্যের উপর নির্ভর করে, প্রদত্ত যেকোন সূচক (বা সূচকগুলির একটি সেট) দক্ষতার মানদণ্ড হিসাবে নির্বাচন করা যেতে পারে।

বিশ্লেষণাত্মক মডেলএকটি QS হল সমীকরণ বা সূত্রগুলির একটি সেট যা একজনকে তার অপারেশন চলাকালীন সিস্টেমের অবস্থার সম্ভাব্যতা নির্ধারণ করতে এবং আগত প্রবাহ এবং পরিষেবা চ্যানেলগুলির পরিচিত বৈশিষ্ট্যগুলির উপর ভিত্তি করে কর্মক্ষমতা সূচকগুলি গণনা করতে দেয়।

নির্বিচারে QS-এর জন্য কোনো সাধারণ বিশ্লেষণাত্মক মডেল নেই. QS-এর সীমিত সংখ্যক বিশেষ ক্ষেত্রে বিশ্লেষণমূলক মডেল তৈরি করা হয়েছে। বিশ্লেষণাত্মক মডেলগুলি যা কমবেশি সঠিকভাবে বাস্তব সিস্টেমগুলিকে প্রতিফলিত করে সেগুলি সাধারণত জটিল এবং কল্পনা করা কঠিন।

একটি QS-এর বিশ্লেষণাত্মক মডেলিং ব্যাপকভাবে সহজতর হয় যদি QS-এ ঘটতে থাকা প্রক্রিয়াগুলি মার্কোভিয়ান হয় (অনুরোধের প্রবাহ সহজ, পরিষেবার সময়গুলি দ্রুতগতিতে বিতরণ করা হয়)। এই ক্ষেত্রে, QS-এর সমস্ত প্রক্রিয়াগুলি সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ দ্বারা বর্ণনা করা যেতে পারে, এবং সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রে, স্থির অবস্থার জন্য, রৈখিক বীজগণিত সমীকরণ দ্বারা এবং তাদের সমাধান করার পরে, নির্বাচিত দক্ষতা সূচকগুলি নির্ধারণ করা যেতে পারে।

আসুন কিছু QS এর উদাহরণ দেখি।

2.5.1। ব্যর্থতার সাথে মাল্টিচ্যানেল QS

উদাহরণ 2.5. তিনজন ট্রাফিক ইন্সপেক্টর ট্রাক চালকদের ওয়েবিল চেক করছেন। কমপক্ষে একজন পরিদর্শক মুক্ত থাকলে, পাসিং ট্রাক বন্ধ করা হয়। সব পরিদর্শক ব্যস্ত থাকলে ট্রাক না থামিয়ে দিয়ে চলে যায়। ট্রাক প্রবাহ সহজ, চেক সময় একটি সূচকীয় বন্টন সঙ্গে র্যান্ডম হয়.

এই পরিস্থিতি ব্যর্থতা সহ একটি তিন-চ্যানেল QS দ্বারা মডেল করা যেতে পারে (কোনও সারি নেই)। সিস্টেমটি ওপেন-লুপ, একজাতীয় অনুরোধ সহ, একক-ফেজ, একেবারে নির্ভরযোগ্য চ্যানেল সহ।

রাজ্যের বর্ণনা:

সমস্ত পরিদর্শক বিনামূল্যে;

একজন পরিদর্শক ব্যস্ত;

দুই পরিদর্শক ব্যস্ত;

তিনজন পরিদর্শক ব্যস্ত।

সিস্টেম স্টেট গ্রাফ চিত্রে দেখানো হয়েছে। 2.11।

ভাত। 2.11।

গ্রাফে: - ট্রাক প্রবাহের তীব্রতা; - একজন ট্রাফিক ইন্সপেক্টর দ্বারা নথি চেকের তীব্রতা।

পরীক্ষা করা হবে না যে যানবাহন অংশ নির্ধারণ করতে সিমুলেশন বাহিত হয়.

সমাধান

সম্ভাব্যতার প্রয়োজনীয় অংশটি হল তিনটি পরিদর্শকের কর্মসংস্থানের সম্ভাবনা। যেহেতু রাষ্ট্রীয় গ্রাফটি একটি সাধারণ "মৃত্যু এবং প্রজনন" স্কিমকে প্রতিনিধিত্ব করে, তাই আমরা নির্ভরতা (2.2) ব্যবহার করে দেখতে পাব।

এই ট্রাফিক ইন্সপেক্টর পোস্টের থ্রুপুট ক্ষমতা চিহ্নিত করা যেতে পারে আপেক্ষিক থ্রুপুট:

উদাহরণ 2.6. রিকনেসান্স গ্রুপ থেকে রিপোর্ট গ্রহণ এবং প্রক্রিয়া করার জন্য, সমিতির গোয়েন্দা বিভাগে তিনজন কর্মকর্তার একটি দল নিয়োগ করা হয়েছিল। প্রতিবেদনের প্রবাহের প্রত্যাশিত তীব্রতা প্রতি ঘন্টায় 15টি প্রতিবেদন। একজন কর্মকর্তার একটি প্রতিবেদন প্রক্রিয়াকরণের গড় সময়। প্রতিটি অফিসার যেকোন রিকনেসান্স গ্রুপ থেকে রিপোর্ট পেতে পারে। মুক্তিপ্রাপ্ত কর্মকর্তা প্রাপ্ত প্রতিবেদনের শেষটি প্রক্রিয়া করেন। ইনকামিং রিপোর্ট অন্তত 95% এর সম্ভাবনা সঙ্গে প্রক্রিয়া করা আবশ্যক.

অর্পিত কাজটি সম্পূর্ণ করার জন্য তিনজন কর্মকর্তার অর্পিত দল যথেষ্ট কিনা তা নির্ধারণ করুন।

সমাধান

কর্মকর্তাদের একটি গ্রুপ ব্যর্থতার সাথে সিএমও হিসাবে কাজ করে, তিনটি চ্যানেল নিয়ে গঠিত।

তীব্রতার সাথে প্রতিবেদনের প্রবাহ সবচেয়ে সহজ হিসাবে বিবেচিত হতে পারে, যেহেতু এটি বেশ কয়েকটি পুনরুদ্ধার গোষ্ঠীর মোট। পরিষেবার তীব্রতা . বন্টন আইন অজানা, কিন্তু এটি গুরুত্বহীন, কারণ এটি দেখানো হয়েছে যে ব্যর্থতার সাথে সিস্টেমের জন্য এটি নির্বিচারে হতে পারে।

রাজ্যের বর্ণনা এবং QS-এর রাজ্য গ্রাফ উদাহরণ 2.5-এ দেওয়া অনুরূপ হবে।

যেহেতু রাষ্ট্রের গ্রাফটি একটি "মৃত্যু এবং প্রজনন" স্কিম, তাই রাষ্ট্রের সীমিত সম্ভাবনার জন্য এটির জন্য প্রস্তুত অভিব্যক্তি রয়েছে:

মনোভাব বলা হয় প্রদত্ত আবেদন প্রবাহের তীব্রতা. এর প্রকৃত অর্থ নিম্নরূপ: মানটি একটি অনুরোধ পরিবেশন করার গড় সময়ের মধ্যে QS-এ আগত অনুরোধের গড় সংখ্যাকে প্রতিনিধিত্ব করে।

উদাহরণে .

বিবেচনাধীন QS-এ, একটি ব্যর্থতা ঘটে যখন তিনটি চ্যানেলই ব্যস্ত থাকে, অর্থাৎ। তারপর:

কারণ ব্যর্থতার সম্ভাবনাপ্রতিবেদনের প্রক্রিয়াকরণে 34% এর বেশি (), তারপরে গ্রুপের কর্মীদের বৃদ্ধি করা প্রয়োজন। আসুন গ্রুপের রচনাকে দ্বিগুণ করি, অর্থাৎ, সিএমওতে এখন ছয়টি চ্যানেল থাকবে এবং গণনা করুন:

এইভাবে, শুধুমাত্র ছয় কর্মকর্তার একটি দল 95% সম্ভাবনার সাথে ইনকামিং রিপোর্ট প্রক্রিয়া করতে সক্ষম হবে।

2.5.2। অপেক্ষার সাথে মাল্টি-চ্যানেল QS

উদাহরণ 2.7. নদী ক্রসিং বিভাগে 15টি অনুরূপ পারাপারের সুবিধা রয়েছে। ক্রসিংয়ে আসা সরঞ্জামের প্রবাহ গড়ে 1 ইউনিট/মিনিট, সরঞ্জামের এক ইউনিট অতিক্রম করার গড় সময় 10 মিনিট (ক্রসিং গাড়ির ফেরত সহ)।

সরঞ্জামের ইউনিটের আগমনের সাথে সাথে অবিলম্বে ক্রসিংয়ের সম্ভাবনা সহ ক্রসিংয়ের প্রধান বৈশিষ্ট্যগুলি মূল্যায়ন করুন।

সমাধান

পরম থ্রুপুট, অর্থাৎ ক্রসিংয়ের কাছে যা কিছু আসে তা কার্যত অবিলম্বে অতিক্রম করা হয়।

অপারেটিং ক্রসিং সুবিধার গড় সংখ্যা:

ফেরি ব্যবহার এবং ডাউনটাইম হার:

উদাহরণটি সমাধান করার জন্য একটি প্রোগ্রামও তৈরি করা হয়েছিল। ক্রসিং-এ সরঞ্জাম পৌঁছানোর সময়ের ব্যবধান এবং ক্রসিং সময় একটি সূচকীয় আইন অনুসারে বিতরণ করা হয়েছে বলে ধরে নেওয়া হয়।

50 রানের পরে ক্রসিংয়ের ব্যবহারের হার প্রায় একই: .

সর্বোচ্চ সারির দৈর্ঘ্য 15 ইউনিট, সারিতে কাটানো গড় সময় প্রায় 10 মিনিট।

অপেক্ষা সহ সহজতম QS বিবেচনা করা যাক - একটি একক-চ্যানেল সিস্টেম যা তীব্রতার সাথে অনুরোধের প্রবাহ গ্রহণ করে; পরিষেবার তীব্রতা (অর্থাৎ, গড়ে, একটি ক্রমাগত ব্যস্ত চ্যানেল প্রতি ইউনিট (সময়ের) পরিষেবাযুক্ত অনুরোধগুলি জারি করবে৷ চ্যানেলটি ব্যস্ত থাকাকালীন একটি অনুরোধ সারিবদ্ধ এবং পরিষেবার জন্য অপেক্ষা করছে৷

সীমিত সারির দৈর্ঘ্য সহ সিস্টেম। আসুন প্রথমে অনুমান করি যে সারিতে স্থানের সংখ্যা সংখ্যা দ্বারা সীমিত, অর্থাত্ যদি একটি অ্যাপ্লিকেশন এমন সময়ে আসে যখন সারিতে ইতিমধ্যে অ্যাপ্লিকেশন রয়েছে, এটি সিস্টেমটিকে অপরিবর্তিত রেখে দেয়। ভবিষ্যতে, অনন্তের দিকে ধাবিত হয়ে, আমরা সারির দৈর্ঘ্যের সীমাবদ্ধতা ছাড়াই একটি একক-চ্যানেল QS-এর বৈশিষ্ট্যগুলি পাব।

আমরা সিস্টেমে অ্যাপ্লিকেশনের সংখ্যা অনুসারে QS-এর রাজ্যগুলিকে সংখ্যা করব (উভয় পরিষেবা দেওয়া হচ্ছে এবং পরিষেবার জন্য অপেক্ষা করছে):

চ্যানেল বিনামূল্যে;

চ্যানেল ব্যস্ত, কোন সারি নেই;

চ্যানেল ব্যস্ত, একটি আবেদন সারিতে আছে;

চ্যানেল ব্যস্ত, অ্যাপ্লিকেশন সারিতে আছে;

চ্যানেলটি ব্যস্ত, প্রচুর অ্যাপ্লিকেশন সারিবদ্ধ।

GSP চিত্রে দেখানো হয়েছে। ৫.৮। বাম থেকে ডানে তীর বরাবর সিস্টেমে চলা ইভেন্ট প্রবাহের সমস্ত তীব্রতা সমান, এবং ডান থেকে বামে -। প্রকৃতপক্ষে, অনুরোধের প্রবাহ সিস্টেমটিকে তীর বরাবর বাম থেকে ডানে নিয়ে যায় (অনুরোধ আসার সাথে সাথে সিস্টেমটি পরবর্তী অবস্থায় চলে যায়), যখন ডান থেকে বামে একটি ব্যস্ত চ্যানেলের "রিলিজ" এর প্রবাহ থাকে। , যার একটি তীব্রতা রয়েছে (পরবর্তী অনুরোধটি পরিষেবা দেওয়ার সাথে সাথে, চ্যানেলটি হয় বিনামূল্যে হয়ে যাবে বা সারিতে থাকা অ্যাপ্লিকেশনের সংখ্যা হ্রাস পাবে)।

ভাত। ৫.৮। অপেক্ষার সাথে একক-চ্যানেল QS

চিত্রে দেখানো হয়েছে। 5.8 ডায়াগ্রাম হল প্রজনন এবং মৃত্যুর একটি চিত্র। সাধারণ সমাধান (5.32)-(5.34) ব্যবহার করে, আমরা রাজ্যের সীমিত সম্ভাবনার জন্য অভিব্যক্তি লিখি (এছাড়াও (5.40) দেখুন):

বা ব্যবহার করে:

(5.45) এর শেষ লাইনে প্রথম পদ 1 এবং হর p সহ একটি জ্যামিতিক অগ্রগতি রয়েছে; যেখানে আমরা পাই:

যার সাথে সীমিত সম্ভাবনাগুলি রূপ নেয়:

এক্সপ্রেশন (5.46) শুধুমাত্র এর জন্য বৈধ (কারণ এটি ফর্মের অনিশ্চয়তা দেয়)। একটি হর সহ একটি জ্যামিতিক অগ্রগতির সমষ্টি , এবং এই ক্ষেত্রে

আসুন আমরা QS-এর বৈশিষ্ট্যগুলি নির্ধারণ করি: ব্যর্থতার সম্ভাবনা, আপেক্ষিক থ্রুপুট, পরম থ্রুপুট, গড় সারির দৈর্ঘ্য, সিস্টেমের সাথে যুক্ত অ্যাপ্লিকেশনের গড় সংখ্যা, সারিতে অপেক্ষার গড় সময়, QS-এ ব্যয় করা গড় সময়

ব্যর্থতার সম্ভাবনা। স্পষ্টতই, চ্যানেলটি ব্যস্ত থাকলেই আবেদনটি প্রত্যাখ্যান করা হয় এবং সারিতে থাকা সমস্ত টি স্থানও ব্যস্ত থাকে:

আপেক্ষিক ব্যান্ডউইথ:

পরম থ্রুপুট:

সারির গড় দৈর্ঘ্য। আসুন একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশা হিসাবে সারিতে থাকা অ্যাপ্লিকেশনের গড় সংখ্যা খুঁজে বের করি - সারিতে থাকা অ্যাপ্লিকেশনের সংখ্যা:

সম্ভাব্যতার সাথে সারিতে একটি অ্যাপ্লিকেশন রয়েছে, সম্ভাব্যতার সাথে দুটি অ্যাপ্লিকেশন রয়েছে, সাধারণভাবে সম্ভাব্যতার সাথে সারিতে অ্যাপ্লিকেশন রয়েছে ইত্যাদি, যেখান থেকে:

যেহেতু, যোগফল (5.50) একটি জ্যামিতিক অগ্রগতির যোগফলের সাপেক্ষে একটি ডেরিভেটিভ হিসাবে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে:

এই অভিব্যক্তিটিকে (5.50) তে প্রতিস্থাপিত করে এবং (5.47) থেকে ব্যবহার করে, আমরা অবশেষে পাই:

সিস্টেমে অ্যাপ্লিকেশনের গড় সংখ্যা। এর পরে, আমরা সিস্টেমের সাথে যুক্ত অ্যাপ্লিকেশনের গড় সংখ্যার জন্য একটি সূত্র পাই (যারা সারিতে দাঁড়িয়ে আছে এবং যারা পরিষেবা দেওয়া হচ্ছে)। যেহেতু, পরিষেবার অধীনে অ্যাপ্লিকেশনের গড় সংখ্যা কোথায়, জানা যায়, এটি নির্ধারণ করা বাকি রয়েছে। যেহেতু শুধুমাত্র একটি চ্যানেল আছে, পরিষেবাকৃত অনুরোধের সংখ্যা সমান হতে পারে (সম্ভাব্যতা সহ) বা 1 (সম্ভাব্যতা সহ), যেখান থেকে:

এবং QS-এর সাথে যুক্ত অ্যাপ্লিকেশনের গড় সংখ্যা

সারিতে থাকা একটি আবেদনের জন্য গড় অপেক্ষার সময়। আসুন এটি বোঝাই; যদি কোনও সময়ে কোনও অনুরোধ সিস্টেমে আসে, তবে সম্ভাব্যতার সাথে পরিষেবা চ্যানেলটি ব্যস্ত থাকবে না এবং এটিকে লাইনে অপেক্ষা করতে হবে না (প্রতীক্ষার সময় শূন্য)। খুব সম্ভবত, কিছু অনুরোধ পরিবেশিত হওয়ার সময় তিনি সিস্টেমে আসবেন, তবে তার সামনে কোনও সারি থাকবে না এবং অনুরোধটি নির্দিষ্ট সময়ের জন্য পরিষেবা শুরুর জন্য অপেক্ষা করবে (একটি পরিষেবা দেওয়ার গড় সময়) অনুরোধ)। একটি সম্ভাবনা রয়েছে যে আবেদনটি বিবেচনা করার আগে সারিতে অন্য একটি আবেদন থাকবে এবং গড় অপেক্ষার সময় সমান হবে, ইত্যাদি।

যদি, অর্থাত্, যখন একটি নতুন আগত অনুরোধ পরিষেবা চ্যানেলটিকে সারিতে ব্যস্ত এবং অ্যাপ্লিকেশনগুলিকে খুঁজে পায় (এর সম্ভাবনা), তবে এই ক্ষেত্রে অনুরোধটি সারিতে না যায় (এবং পরিবেশিত হয় না), তাই অপেক্ষার সময় শূন্য হয় . গড় অপেক্ষার সময় হবে:

যদি আমরা এখানে সম্ভাব্যতার (5.47) জন্য অভিব্যক্তি প্রতিস্থাপন করি, আমরা পাই:

এখানে আমরা সম্পর্ক ব্যবহার করি (5.50), (5.51) (একটি জ্যামিতিক অগ্রগতির ডেরিভেটিভ), সেইসাথে (5.47) থেকে। (5.51) এর সাথে এই অভিব্যক্তিটির তুলনা করে, আমরা লক্ষ্য করি যে অন্য কথায়, গড় অপেক্ষার সময়টি আবেদন প্রবাহের তীব্রতা দ্বারা বিভক্ত সারিতে থাকা অ্যাপ্লিকেশনের গড় সংখ্যার সমান।

একটি অ্যাপ্লিকেশন সিস্টেমে থাকার গড় সময়। আসুন আমরা একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশা বোঝাই - একটি অনুরোধ QS-এ থাকা সময়, যা সারিতে থাকা গড় অপেক্ষার সময় এবং গড় পরিষেবা সময়ের যোগফল। যদি সিস্টেম লোড 100% হয়, স্পষ্টতই, অন্যথায়

উদাহরণ 5.6।একটি গ্যাস স্টেশন (গ্যাস স্টেশন) হল একটি সার্ভিস স্টেশন যার একটি সার্ভিস চ্যানেল (একটি কলাম)।

স্টেশনের এলাকাটি একই সময়ে রিফুয়েলিংয়ের জন্য তিনটি গাড়ির বেশি লাইনে থাকার অনুমতি দেয় না। সারিতে ইতিমধ্যে তিনটি গাড়ি থাকলে, স্টেশনে আসা পরবর্তী গাড়িটি সারিতে যোগ দেয় না। রিফুয়েলিং এর জন্য আসা গাড়ির প্রবাহের তীব্রতা রয়েছে (প্রতি মিনিটে গাড়ি)। রিফুয়েলিং প্রক্রিয়া গড়ে 1.25 মিনিট স্থায়ী হয়।

সংজ্ঞায়িত করুন:

ব্যর্থতার সম্ভাবনা;

গ্যাস স্টেশনগুলির আপেক্ষিক এবং পরম ক্ষমতা;

জ্বালানীর জন্য অপেক্ষারত গাড়ির গড় সংখ্যা;

একটি গ্যাস স্টেশনে গাড়ির গড় সংখ্যা (সেইগুলি সহ);

সারিতে থাকা গাড়ির জন্য গড় অপেক্ষার সময়;

একটি গাড়ি গ্যাস স্টেশনে (পরিষেবা সহ) ব্যয় করে গড় সময়।

অন্য কথায়, গড় অপেক্ষার সময়টি আবেদন প্রবাহের তীব্রতা দ্বারা বিভক্ত সারিতে থাকা অ্যাপ্লিকেশনের গড় সংখ্যার সমান।

আমরা প্রথমে অ্যাপ্লিকেশনের প্রবাহের হ্রাসকৃত তীব্রতা খুঁজে পাই:

সূত্র অনুযায়ী (5.47):

ব্যর্থতার সম্ভাবনা।

QS এর আপেক্ষিক ক্ষমতা

QS এর পরম থ্রুপুট

প্রতি মিনিটে গাড়ি।

আমরা সূত্র ব্যবহার করে সারিতে থাকা গাড়ির গড় সংখ্যা খুঁজে পাই (5.51)

অর্থাৎ, জ্বালানির জন্য লাইনে দাঁড়িয়ে থাকা গাড়ির গড় সংখ্যা 1.56।

এই মান যোগ করে পরিষেবার অধীনে যানবাহনের গড় সংখ্যা

আমরা একটি গ্যাস স্টেশনের সাথে যুক্ত গাড়ির গড় সংখ্যা পাই।

সূত্র অনুসারে সারিতে থাকা গাড়ির জন্য গড় অপেক্ষার সময় (5.54)

এই মানটি যোগ করে, আমরা একটি গাড়ি গ্যাস স্টেশনে ব্যয় করা গড় সময় পাই:

আনলিমিটেড ওয়েটিং সিস্টেম. এই ধরনের সিস্টেমে, m-এর মান সীমাবদ্ধ নয় এবং তাই, পূর্বে প্রাপ্ত এক্সপ্রেশন (5.44), (5.45) ইত্যাদিতে সীমা অতিক্রম করে প্রধান বৈশিষ্ট্যগুলি প্রাপ্ত করা যেতে পারে।

লক্ষ্য করুন যে শেষ সূত্রে (5.45) হর হল একটি জ্যামিতিক অগ্রগতির অসীম সংখ্যক পদের সমষ্টি। এই যোগফল তখন একত্রিত হয় যখন অগ্রগতি অসীমভাবে হ্রাস পায়, অর্থাৎ যখন।

এটি প্রমাণ করা যেতে পারে যে এমন একটি শর্ত রয়েছে যার অধীনে একটি সীমিত স্থির-স্থিতি মোড একটি QS-এ অপেক্ষা সহ বিদ্যমান, অন্যথায় এই ধরনের একটি মোড বিদ্যমান নেই, এবং সারিটি সীমা ছাড়াই বৃদ্ধি পাবে। অতএব, যা অনুসরণ করা হয় তা ধরে নেওয়া হয়।

যদি , তাহলে সম্পর্ক (5.47) ফর্ম নেয়:

সারির দৈর্ঘ্যের উপর সীমাবদ্ধতার অনুপস্থিতিতে, সিস্টেমে আসা প্রতিটি অ্যাপ্লিকেশন পরিষেবা দেওয়া হবে, তাই,

আমরা (5.51) থেকে সারিতে থাকা আবেদনের গড় সংখ্যা পাই:

ফর্মুলা অনুসারে সিস্টেমে অ্যাপ্লিকেশনের গড় সংখ্যা (5.52) সহ

আমরা সূত্র থেকে গড় অপেক্ষার সময় পাই

(5.53) এ:

অবশেষে, একটি অ্যাপ্লিকেশন QS-এ থাকার গড় সময়

অপেক্ষার সাথে মাল্টি-চ্যানেল QS

সীমিত সারির দৈর্ঘ্য সহ সিস্টেম. আসুন অপেক্ষার সাথে একটি চ্যানেল QS বিবেচনা করি, যা তীব্রতার সাথে অনুরোধের প্রবাহ গ্রহণ করে; পরিষেবার তীব্রতা (একটি চ্যানেলের জন্য); সারিতে স্থানের সংখ্যা।

সিস্টেমের সাথে যুক্ত অনুরোধের সংখ্যা অনুসারে সিস্টেম স্টেটগুলি সংখ্যায়িত হয়:

কোন সারি নেই:

সমস্ত চ্যানেল বিনামূল্যে;

একটি চ্যানেল দখল করা হয়েছে, বাকিগুলি বিনামূল্যে;

চ্যানেলগুলো ব্যস্ত, বাকিগুলো নেই;

সমস্ত চ্যানেল দখল করা হয়, কোন বিনামূল্যে চ্যানেল নেই;

একটি সারি আছে:

সমস্ত n চ্যানেল ব্যস্ত; একটি আবেদন সারিতে আছে;

সমস্ত n চ্যানেল ব্যস্ত, r অ্যাপ্লিকেশনগুলি সারিতে রয়েছে;

সমস্ত n চ্যানেল ব্যস্ত, r অ্যাপ্লিকেশনগুলি সারিতে রয়েছে৷

GSP চিত্রে দেখানো হয়েছে। ৫.৯। প্রতিটি তীর ইভেন্ট প্রবাহের সংশ্লিষ্ট তীব্রতা দিয়ে চিহ্নিত করা হয়। বাম থেকে ডানে তীর বরাবর, সিস্টেমটি সর্বদা অনুরোধের একই প্রবাহ দ্বারা একটি তীব্রতার সাথে স্থানান্তরিত হয়

ভাত। ৫.৯। অপেক্ষার সাথে মাল্টি-চ্যানেল QS

গ্রাফটি প্রজনন এবং মৃত্যুর প্রক্রিয়াগুলির জন্য সাধারণ, যার জন্য সমাধানটি পূর্বে প্রাপ্ত হয়েছিল (5.29)-(5.33)। আসুন স্বরলিপি ব্যবহার করে রাজ্যের সীমিত সম্ভাবনার জন্য অভিব্যক্তি লিখি: (এখানে আমরা একটি হর সহ জ্যামিতিক অগ্রগতির যোগফলের জন্য অভিব্যক্তিটি ব্যবহার করি)।

এইভাবে, সমস্ত রাষ্ট্রীয় সম্ভাবনা পাওয়া গেছে।

আমাদের সিস্টেমের কর্মক্ষমতা বৈশিষ্ট্য নির্ধারণ করা যাক.

ব্যর্থতার সম্ভাবনা। একটি প্রাপ্ত আবেদন প্রত্যাখ্যান করা হয় যদি সমস্ত চ্যানেল এবং সারির সমস্ত স্থান দখল করা হয়:

আপেক্ষিক থ্রুপুট একজনের ব্যর্থতার সম্ভাবনাকে পরিপূরক করে:

QS এর পরম থ্রুপুট:

ব্যস্ত চ্যানেলের গড় সংখ্যা। প্রত্যাখ্যান সহ QS-এর জন্য, এটি সিস্টেমে আবেদনের গড় সংখ্যার সাথে মিলে যায়। একটি কিউ সহ একটি QS-এর জন্য, ব্যস্ত চ্যানেলের গড় সংখ্যা সিস্টেমে অ্যাপ্লিকেশনের গড় সংখ্যার সাথে মিলে যায় না: শেষের মানটি সারিতে থাকা অ্যাপ্লিকেশনের গড় সংখ্যার দ্বারা প্রথমটির থেকে আলাদা।

এর দ্বারা দখলকৃত চ্যানেলের গড় সংখ্যা বোঝানো যাক। প্রতিটি ব্যস্ত চ্যানেল সময় প্রতি ইউনিট গড়ে গড়ে অনুরোধ পরিবেশন করে, এবং সামগ্রিকভাবে QS প্রতি ইউনিট সময়ের গড় অনুরোধ পরিবেশন করে। একটিকে অন্যটি দিয়ে ভাগ করলে আমরা পাই:

একটি সারিতে থাকা অনুরোধের গড় সংখ্যাকে একটি বিচ্ছিন্ন র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশা হিসাবে সরাসরি গণনা করা যেতে পারে:

এখানে আবার (বন্ধনীতে অভিব্যক্তি) জ্যামিতিক অগ্রগতির যোগফলের ডেরিভেটিভ ঘটে (উপরে দেখুন (5.50), (5.51)-(5.53)), এটির সম্পর্ক ব্যবহার করে, আমরা পাই:

সিস্টেমে অ্যাপ্লিকেশনের গড় সংখ্যা:

সারিতে থাকা একটি আবেদনের জন্য গড় অপেক্ষার সময়। চলুন বিভিন্ন পরিস্থিতিতে বিবেচনা করা যাক যেগুলি রাজ্যের মধ্যে আলাদা যেখানে একটি নতুন আগত অনুরোধ সিস্টেমটি খুঁজে পাবে এবং কতক্ষণ এটি পরিষেবার জন্য অপেক্ষা করতে হবে৷

যদি একটি অনুরোধ সমস্ত চ্যানেলকে ব্যস্ত না খুঁজে পায়, তবে এটিকে মোটেও অপেক্ষা করতে হবে না (গাণিতিক প্রত্যাশায় সংশ্লিষ্ট পদগুলি শূন্যের সমান)। যদি একটি অনুরোধ এমন সময়ে আসে যখন সমস্ত চ্যানেল ব্যস্ত থাকে এবং কোনও সারি নেই, তাহলে এটিকে গড়ে সমান সময়ের জন্য অপেক্ষা করতে হবে (কারণ চ্যানেলগুলির "রিলিজের প্রবাহ" এর তীব্রতা রয়েছে)। যদি একটি অ্যাপ্লিকেশন সমস্ত চ্যানেলকে ব্যস্ত খুঁজে পায় এবং একটি অ্যাপ্লিকেশন সারিতে তার সামনে থাকে, তবে এটিকে গড়ে কিছু সময়ের জন্য অপেক্ষা করতে হবে (সামনে প্রতিটি অ্যাপ্লিকেশনের জন্য), ইত্যাদি৷ যদি একটি অ্যাপ্লিকেশন নিজেকে অ্যাপ্লিকেশনগুলির একটি সারিতে খুঁজে পায় , এটি সময় একটি নির্দিষ্ট সময়ের জন্য গড়ে অপেক্ষা করতে হবে. যদি একটি নতুন আগত অ্যাপ্লিকেশনটি ইতিমধ্যেই সারিতে থাকা অ্যাপ্লিকেশনগুলি খুঁজে পায়, তবে এটি মোটেও অপেক্ষা করবে না (কিন্তু পরিষেবা দেওয়া হবে না)৷ আমরা এই মানগুলির প্রতিটিকে সংশ্লিষ্ট সম্ভাব্যতার দ্বারা গুণ করে গড় অপেক্ষার সময় খুঁজে পাই:

অপেক্ষার সাথে একটি একক-চ্যানেল QS-এর ক্ষেত্রে যেমন, আমরা লক্ষ্য করি যে এই অভিব্যক্তিটি শুধুমাত্র ফ্যাক্টর দ্বারা গড় সারির দৈর্ঘ্য (5.59) এর অভিব্যক্তি থেকে পৃথক, যেমন

সিস্টেমে একটি অনুরোধের গড় বসবাসের সময়, সেইসাথে একটি একক-চ্যানেল QS-এর জন্য, গড় অপেক্ষার সময় থেকে আপেক্ষিক থ্রুপুট দ্বারা গুণিত গড় পরিষেবার সময় থেকে আলাদা:

সীমাহীন সারির দৈর্ঘ্য সহ সিস্টেম. আমরা অপেক্ষার সাথে একটি চ্যানেল QS বিবেচনা করেছি, যখন একই সময়ে অনুরোধের চেয়ে বেশি সারিতে থাকতে পারে না।

ঠিক আগের মতো, সীমাবদ্ধতা ছাড়াই সিস্টেমগুলি বিশ্লেষণ করার সময়, এর জন্য প্রাপ্ত সম্পর্কগুলি বিবেচনা করা প্রয়োজন।

আমরা সীমা (এ) পাস করে সূত্র (5.56) থেকে রাজ্যগুলির সম্ভাব্যতাগুলি পাই। মনে রাখবেন যে সংশ্লিষ্ট জ্যামিতিক অগ্রগতির যোগফল তে একত্রিত হয় এবং তে বিবর্তিত হয়। ধরে নিই এবং m এর মানকে সূত্রে (5.56) অনন্তের দিকে নির্দেশ করে, আমরা স্থিতিগুলির সীমিত সম্ভাবনার জন্য অভিব্যক্তি পাই:

ব্যর্থতার সম্ভাবনা, আপেক্ষিক এবং পরম থ্রুপুট। যেহেতু প্রতিটি অনুরোধ তাড়াতাড়ি বা পরে পরিসেবা করা হবে, তাই QS থ্রুপুটের বৈশিষ্ট্যগুলি হবে:

আমরা (5.59) থেকে সারিতে থাকা আবেদনের গড় সংখ্যা পাই:

এবং গড় অপেক্ষার সময় (5.60):

দখলকৃত চ্যানেলের গড় সংখ্যা, আগের মতই, পরম থ্রুপুটের মাধ্যমে নির্ধারিত হয়:

QS-এর সাথে যুক্ত অ্যাপ্লিকেশনের গড় সংখ্যাকে সারিতে থাকা অ্যাপ্লিকেশনের গড় সংখ্যা এবং পরিষেবার অধীনে অ্যাপ্লিকেশনের গড় সংখ্যা (ব্যস্ত চ্যানেলের গড় সংখ্যা) হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়:

উদাহরণ 5.7।দুটি পাম্প () সহ একটি গ্যাস স্টেশন তীব্রতার সাথে গাড়ির প্রবাহ পরিবেশন করে (প্রতি মিনিটে গাড়ি)। মেশিন প্রতি গড় সেবা সময়

এলাকায় অন্য কোন গ্যাস স্টেশন নেই, তাই গ্যাস স্টেশনের সামনে গাড়ির লাইন প্রায় সীমাহীনভাবে বাড়তে পারে। QS এর বৈশিষ্ট্য খুঁজুন।

যেহেতু , সারিটি অনির্দিষ্টকালের জন্য বৃদ্ধি পায় না এবং এটি QS-এর অপারেশনের সীমিত স্থির মোড সম্পর্কে কথা বলা বোধগম্য। সূত্র ব্যবহার করে (5.61) আমরা রাজ্যের সম্ভাব্যতা খুঁজে পাই:

আমরা পরিষেবার তীব্রতা দ্বারা QS-এর পরম থ্রুপুটকে ভাগ করে দখলকৃত চ্যানেলের গড় সংখ্যা খুঁজে পাব:

গ্যাস স্টেশনে সারি না থাকার সম্ভাবনা হবে:

সারিতে থাকা গাড়ির গড় সংখ্যা:

গ্যাস স্টেশনে গাড়ির গড় সংখ্যা:

সারিতে অপেক্ষার গড় সময়:

একটি গ্যাস স্টেশনে একটি গাড়ির গড় সময়:

সীমিত অপেক্ষার সময় সহ QS। পূর্বে, আমরা অপেক্ষা করার সিস্টেমগুলিকে শুধুমাত্র সারির দৈর্ঘ্যের দ্বারা সীমিত বিবেচনা করতাম (সারিতে একযোগে অ্যাপ্লিকেশনের সংখ্যা)। এই ধরনের QS-এ, একটি অ্যাপ্লিকেশন, একবার সারিতে রাখা হলে, পরিষেবার জন্য অপেক্ষা না করা পর্যন্ত এটি ছেড়ে যায় না। অনুশীলনে, অন্যান্য ধরণের QS রয়েছে যেখানে একটি অ্যাপ্লিকেশন, কিছু সময়ের জন্য অপেক্ষা করার পরে, সারি ছেড়ে যেতে পারে (তথাকথিত "অধৈর্য" অ্যাপ্লিকেশন)।

আসুন এই ধরণের একটি QS বিবেচনা করি, ধরে নিই যে অপেক্ষার সময় সীমাবদ্ধতা একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল।

আসুন আমরা ধরে নিই যে অপেক্ষার সাথে একটি চ্যানেল QS আছে, যেখানে সারিতে স্থানের সংখ্যা সীমিত নয়, তবে একটি অ্যাপ্লিকেশন সারিতে থাকা সময়টি গড় মান সহ কিছু র্যান্ডম পরিবর্তনশীল, এইভাবে, প্রতিটি অ্যাপ্লিকেশনের জন্য দাঁড়ানো সারি, এক ধরণের পয়সন "প্রস্থানের প্রবাহ" কাজ করে » অ্যাপ্লিকেশনের তীব্রতার সাথে, তারা লাইনে দাঁড়ায় ইত্যাদি।

সিস্টেমের অবস্থা এবং পরিবর্তনের গ্রাফ চিত্রে দেখানো হয়েছে। 5.10।

ভাত। 5.10। সীমিত অপেক্ষার সময় সহ QS

এই গ্রাফটিকে আগের মতই চিহ্নিত করা যাক; বাম থেকে ডান দিকে অগ্রসর সমস্ত তীরগুলি অ্যাপ্লিকেশনের প্রবাহের তীব্রতা নির্দেশ করবে। সারিবিহীন রাজ্যগুলির জন্য, তাদের থেকে ডান থেকে বাম দিকে অগ্রসর হওয়া তীরগুলি, আগের মতোই, সমস্ত দখলকৃত চ্যানেল পরিষেবা প্রদানকারী প্রবাহের মোট তীব্রতা নির্দেশ করবে৷ একটি সারি সহ রাজ্যগুলির জন্য, তাদের থেকে ডান থেকে বাম দিকে অগ্রসর হওয়া তীরগুলি সমস্ত চ্যানেলের পরিষেবা প্রবাহের মোট তীব্রতা এবং সারি থেকে প্রস্থানের প্রবাহের অনুরূপ তীব্রতা নির্দেশ করবে৷ যদি সারিতে অ্যাপ্লিকেশন থাকে, তাহলে প্রস্থানের প্রবাহের মোট তীব্রতা সমান হবে।

গ্রাফ থেকে দেখা যায়, প্রজনন এবং মৃত্যুর একটি প্যাটার্ন আছে; এই স্কিমে রাজ্যগুলির সীমিত সম্ভাবনার জন্য সাধারণ অভিব্যক্তি ব্যবহার করে (সংক্ষিপ্ত স্বরলিপি ব্যবহার করে), আমরা লিখি:

আসুন "রোগীর" অনুরোধের সাথে পূর্বে বিবেচনা করা QS-এর তুলনায় সীমিত অপেক্ষা সহ একটি QS-এর কিছু বৈশিষ্ট্য নোট করুন।

যদি সারির দৈর্ঘ্য সীমিত না হয় এবং অনুরোধগুলি "রোগী" হয় (সারি ছেড়ে যাবেন না), তবে স্থির সীমা ব্যবস্থাটি কেবলমাত্র ক্ষেত্রেই বিদ্যমান থাকে (এতে, সংশ্লিষ্ট অসীম জ্যামিতিক অগ্রগতি বিচ্ছিন্ন হয়, যা শারীরিকভাবে সীমাহীন বৃদ্ধির সাথে মিলে যায়। সারিতে)

বিপরীতে, একটি QS-এ "অধৈর্য" গ্রাহকরা শীঘ্র বা পরে সারি ছেড়ে চলে যায়, অসীম সিরিজ (5.63) যোগ না করে, গ্রাহক প্রবাহের তীব্রতা যতই কম হোক না কেন, সর্বদা প্রতিষ্ঠিত পরিষেবা মোড অর্জন করা হয়। (5.64) থেকে আমরা পাই:

এবং এই সূত্রে অন্তর্ভুক্ত দখলকৃত চ্যানেলগুলির গড় সংখ্যা একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশা হিসাবে পাওয়া যেতে পারে যা সম্ভাব্যতার সাথে মান নেয়:

উপসংহারে, আমরা লক্ষ্য করি যে যদি সূত্রগুলিতে (5.62) আমরা সীমাতে যাই (বা, একই কী, এ) তবে আমরা সূত্রগুলি (5.61) পাই, অর্থাত্, "অধৈর্য" অ্যাপ্লিকেশনগুলি "ধৈর্যশীল" হয়ে যাবে।

বাস্তবে, সারি দিয়ে একক-চ্যানেল চিকিৎসা পরিষেবা পাওয়া খুবই সাধারণ ব্যাপার (একজন ডাক্তার রোগীদের সেবা দিচ্ছেন; একটি বুথ সহ একটি পে ফোন; একটি কম্পিউটার ব্যবহারকারীর আদেশ নির্বাহ করে)। সারিবদ্ধ তত্ত্বে, একটি সারির সাথে একক-চ্যানেল QSও একটি বিশেষ স্থান দখল করে (এখন পর্যন্ত প্রাপ্ত অধিকাংশ বিশ্লেষণাত্মক সূত্র নন-মার্কভ সিস্টেমের জন্য এই ধরনের QS-এর অন্তর্গত)। অতএব, আমরা একটি সারি সহ একক-চ্যানেল QS-এ বিশেষ মনোযোগ দেব।

একটি সারি সহ একটি একক-চ্যানেল QS থাকুক যার উপর কোন বিধিনিষেধ আরোপ করা হয় না (নই সারির দৈর্ঘ্যের উপর, না অপেক্ষার সময়ের উপর)। এই QS তীব্রতা X সহ অ্যাপ্লিকেশনের একটি প্রবাহ গ্রহণ করে; পরিষেবাগুলির প্রবাহের একটি অনুরোধের গড় পরিষেবা সময়ের বিপরীতে একটি তীব্রতা রয়েছে৷ এটি QS রাজ্যগুলির চূড়ান্ত সম্ভাব্যতাগুলির পাশাপাশি এর কার্যকারিতার বৈশিষ্ট্যগুলি খুঁজে বের করতে হবে:

সিস্টেমে অ্যাপ্লিকেশনের গড় সংখ্যা,

একটি অ্যাপ্লিকেশন সিস্টেমে থাকার গড় সময়,

সারিতে থাকা আবেদনের গড় সংখ্যা,

একটি অ্যাপ্লিকেশন সারিতে থাকা গড় সময়,

চ্যানেলটি ব্যস্ত থাকার সম্ভাবনা (চ্যানেল লোড)।

পরম থ্রুপুট A এবং আপেক্ষিক Q এর জন্য, তাদের গণনা করার কোন প্রয়োজন নেই: এই কারণে যে সারিটি সীমাহীন, প্রতিটি অনুরোধ শীঘ্র বা পরে পরিসেবা করা হবে, তাই একই কারণে

সমাধান। আগের মতো, আমরা QS-এ অ্যাপ্লিকেশনের সংখ্যা অনুসারে সিস্টেমের রাজ্যগুলি সংখ্যা করব:

চ্যানেলটি বিনামূল্যে

চ্যানেল ব্যস্ত (একটি অনুরোধ পরিবেশন), কোন সারি নেই,

চ্যানেল ব্যস্ত, একটি অনুরোধ সারিবদ্ধ,

চ্যানেল ব্যস্ত, অ্যাপ্লিকেশন সারিতে আছে,

তাত্ত্বিকভাবে, রাজ্যের সংখ্যা সীমাহীন (অসীম)। স্টেট গ্রাফে চিত্রে দেখানো ফর্ম আছে। 20.2। এটি মৃত্যু এবং প্রজননের একটি পরিকল্পনা, তবে অসীম সংখ্যক রাজ্য সহ। সমস্ত তীর বরাবর, তীব্রতা সহ অনুরোধের প্রবাহ A সিস্টেমটিকে বাম থেকে ডানে এবং ডান থেকে বাম দিকে নিয়ে যায় - তীব্রতার সাথে পরিষেবার প্রবাহ

প্রথমত, আসুন নিজেদেরকে জিজ্ঞাসা করি, এই ক্ষেত্রে কি চূড়ান্ত সম্ভাবনা আছে? সর্বোপরি, সিস্টেমের রাজ্যের সংখ্যা অসীম, এবং নীতিগতভাবে, সারিটি সীমা ছাড়াই বাড়তে পারে! হ্যাঁ, এটি এমনই হয়: এই জাতীয় QS-এর চূড়ান্ত সম্ভাবনাগুলি সর্বদা বিদ্যমান থাকে না, তবে শুধুমাত্র যখন সিস্টেমটি ওভারলোড হয় না। এটা প্রমাণিত হতে পারে যে যদি কঠোরভাবে একের কম হয়, তাহলে চূড়ান্ত সম্ভাবনা বিদ্যমান এবং যখন সারিটি সীমা ছাড়াই বৃদ্ধি পায়। এই সত্যটি বিশেষত "অবোধগম্য" বলে মনে হয় যখন মনে হয় যে সিস্টেমে কোনও অসম্ভব প্রয়োজনীয়তা আরোপ করা হয়নি: একটি অ্যাপ্লিকেশন পরিষেবা দেওয়ার সময়, গড়ে একটি অ্যাপ্লিকেশন আসে এবং সবকিছু ঠিকঠাক হওয়া উচিত, তবে বাস্তবে এটি এমন নয়।

QS এর সাথে, এটি অনুরোধের প্রবাহের সাথে মোকাবিলা করে শুধুমাত্র যদি এই প্রবাহ নিয়মিত হয়, এবং পরিষেবার সময়ও এলোমেলো নয়, অনুরোধের মধ্যে ব্যবধানের সমান। এই "আদর্শ" ক্ষেত্রে, কোনও সারি থাকবে না, চ্যানেলটি ক্রমাগত ব্যস্ত থাকবে এবং নিয়মিত পরিষেবার অনুরোধ জারি করবে। কিন্তু যত তাড়াতাড়ি অ্যাপ্লিকেশনের প্রবাহ বা পরিষেবার প্রবাহ একটু এলোমেলো হয়ে যায়, সারিটি অসীম পর্যন্ত বৃদ্ধি পাবে। অনুশীলনে, এটি শুধুমাত্র এই কারণে ঘটে না যে "সারিতে অসীম সংখ্যক অ্যাপ্লিকেশন" একটি বিমূর্ততা। এগুলি হল স্থূল ত্রুটি যা তাদের গাণিতিক প্রত্যাশার সাথে র্যান্ডম ভেরিয়েবল প্রতিস্থাপনের ফলে হতে পারে!

তবে আসুন সীমাহীন সারির সাথে আমাদের একক-চ্যানেল QS-এ ফিরে আসি। কঠোরভাবে বলতে গেলে, আমরা শুধুমাত্র একটি সীমিত সংখ্যক রাজ্যের ক্ষেত্রে মৃত্যু এবং পুনরুৎপাদনের পরিকল্পনার চূড়ান্ত সম্ভাবনার সূত্রগুলি তৈরি করেছি, তবে আসুন অসীম সংখ্যক রাজ্যের জন্য তাদের ব্যবহার করার স্বাধীনতা গ্রহণ করি। আসুন সূত্র (19.8), (19.7) ব্যবহার করে রাজ্যগুলির চূড়ান্ত সম্ভাব্যতা গণনা করি। আমাদের ক্ষেত্রে, সূত্রে পদের সংখ্যা (19.8) অসীম হবে। আমরা জন্য একটি অভিব্যক্তি প্রাপ্ত

সূত্রের সিরিজ (20.11) একটি জ্যামিতিক অগ্রগতি। আমরা জানি যে সিরিজটি একত্রিত হয় - এটি একটি হর সহ একটি অসীম হ্রাসকারী জ্যামিতিক অগ্রগতি। এ , সিরিজটি ভিন্ন হয়ে যায় (যা একটি পরোক্ষ, যদিও কঠোর নয়, প্রমাণ করে যে রাজ্যের চূড়ান্ত সম্ভাবনা শুধুমাত্র তে বিদ্যমান)। এখন ধরুন যে এই শর্তটি সন্তুষ্ট হয়েছে, এবং (20.11) এর অগ্রগতির সারসংক্ষেপ, আমাদের আছে

(20.12)

সম্ভাবনাগুলি সূত্র ব্যবহার করে পাওয়া যায়:

যেখান থেকে, বিবেচনায় নিয়ে (20.12), আমরা অবশেষে খুঁজে পাই:

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, সম্ভাব্যতাগুলি হর দিয়ে একটি জ্যামিতিক অগ্রগতি তৈরি করে। অদ্ভুতভাবে যথেষ্ট, তাদের মধ্যে সর্বাধিক সম্ভাবনা হল চ্যানেলটি সম্পূর্ণ বিনামূল্যে হবে। একটি সারির সাথে একটি সিস্টেম যতই লোড করা হোক না কেন, যদি এটি অ্যাপ্লিকেশনের প্রবাহের সাথে মোকাবিলা করতে পারে, তবে সিস্টেমে অ্যাপ্লিকেশনের সর্বাধিক সম্ভাব্য সংখ্যা 0 হবে৷

আসুন সিএমও-তে আবেদনের গড় সংখ্যা খুঁজে বের করি। এখানে আপনাকে একটু টিঙ্কার করতে হবে। এলোমেলো পরিবর্তনশীল Z - সিস্টেমে অ্যাপ্লিকেশনের সংখ্যা - সম্ভাব্যতা সহ সম্ভাব্য মান রয়েছে

এর গাণিতিক প্রত্যাশা

(20.14)

(সমষ্টিটি 0 থেকে নয় বরং 1 থেকে নেওয়া হয়েছে যেহেতু শূন্য পদটি শূন্যের সমান)।

আসুন আমরা সূত্রে প্রতিস্থাপন করি (20.14) এর জন্য

এবার যোগফল চিহ্নটি বের করা যাক:

এখানে আমরা আবার একটি "ছোট কৌশল" প্রয়োগ করব: অভিব্যক্তির অর্থ থেকে ছিদ্রের ডেরিভেটিভ ছাড়া আর কিছুই নেই,

পার্থক্য এবং সমষ্টির ক্রিয়াকলাপগুলিকে বিপরীত করে, আমরা পাই:

কিন্তু সূত্রের যোগফল (20.15) প্রথম পদ এবং হর সহ অসীমভাবে হ্রাসপ্রাপ্ত জ্যামিতিক অগ্রগতির যোগফল ছাড়া আর কিছুই নয়; এই যোগফল সমান এবং এর ডেরিভেটিভ। এই অভিব্যক্তিটিকে (20.15) এ প্রতিস্থাপন করে, আমরা পাই:

(20.16)

আচ্ছা, এখন চলুন লিটলস ফর্মুলা (19.12) প্রয়োগ করি এবং সিস্টেমে একটি অ্যাপ্লিকেশন থাকার গড় সময় খুঁজে বের করি:

আসুন সারিতে থাকা অ্যাপ্লিকেশনের গড় সংখ্যা খুঁজে বের করা যাক। আমরা এইভাবে যুক্তি দেব: সারিতে থাকা অ্যাপ্লিকেশনের সংখ্যা সিস্টেমের অ্যাপ্লিকেশনের সংখ্যার সমান, পরিষেবার অধীনে থাকা অ্যাপ্লিকেশনের সংখ্যা বিয়োগ করে। এর অর্থ (গাণিতিক প্রত্যাশা যোগ করার নিয়ম অনুসারে), সারিতে থাকা অ্যাপ্লিকেশনের গড় সংখ্যা সিস্টেমে অ্যাপ্লিকেশনের গড় সংখ্যার সমান, পরিষেবার অধীনে অ্যাপ্লিকেশনের গড় সংখ্যা বিয়োগ করে। পরিষেবার অধীনে অনুরোধের সংখ্যা হয় শূন্য (যদি চ্যানেলটি বিনামূল্যে হয়) বা একটি (যদি এটি ব্যস্ত থাকে) হতে পারে। এই ধরনের একটি র্যান্ডম ভেরিয়েবলের গাণিতিক প্রত্যাশা চ্যানেলটি ব্যস্ত থাকার সম্ভাবনার সমান (আমরা এটি চিহ্নিত করেছি)। স্পষ্টতই, চ্যানেলটি বিনামূল্যে হওয়ার সম্ভাবনা এক বিয়োগের সমান;

অতএব, পরিষেবার অধীনে অনুরোধের গড় সংখ্যা

একটি মাল্টি-চ্যানেল QS বিবেচনা করুন (পৃ> 1), যার ইনপুট তীব্রতার সাথে অনুরোধের একটি পয়সন প্রবাহ পায় এবং প্রতিটি চ্যানেলের পরিষেবার তীব্রতা হয় p, সারিতে স্থানের সর্বাধিক সম্ভাব্য সংখ্যা মান দ্বারা সীমাবদ্ধ টি. QS এর বিচ্ছিন্ন অবস্থাগুলি সিস্টেম দ্বারা প্রাপ্ত অ্যাপ্লিকেশনের সংখ্যা দ্বারা নির্ধারিত হয়, যা লিখতে পারে:

বর্গ - সমস্ত চ্যানেল বিনামূল্যে, k = 0;

এস-শুধুমাত্র একটি চ্যানেল দখল করা হয়েছে (যেকোন), k = 1;

*5*2 - শুধুমাত্র দুটি চ্যানেল (যেকোনো) দখল করা হয়েছে, k = 2;

স n- সবাই ব্যস্ত পৃচ্যানেল, k=p.

যদিও QS এই রাজ্যগুলির যে কোনও একটিতে রয়েছে, সেখানে কোনও সারি নেই৷ সমস্ত পরিষেবা চ্যানেল দখল করার পরে, পরবর্তী অনুরোধগুলি একটি সারি তৈরি করে, যার ফলে সিস্টেমের আরও অবস্থা নির্ধারণ করা হয়:

S n + -সবাই ব্যস্ত পৃচ্যানেল এবং একটি অ্যাপ্লিকেশন সারিতে আছে, k = পৃ + 1;

এস n +2 - সবাই ব্যস্ত পৃচ্যানেল এবং দুটি অ্যাপ্লিকেশন সারিতে আছে, k = পৃ + 2;

S n+m -সবাই ব্যস্ত পৃদড়ি এবং সবকিছু টিলাইনে স্থান k = n + m।

রাজ্য গ্রাফ এবং চ্যানেল এসএমওসঙ্গে কিউ,সীমিত টিকিছু জায়গায়, চিত্রে দেখানো হয়েছে। 5.18।

QS-এর বৃহৎ সংখ্যা সহ একটি রাজ্যে রূপান্তর একটি তীব্রতার সাথে আগত অনুরোধের প্রবাহ দ্বারা নির্ধারিত হয়

ভাত। 5.18

যেখানে, শর্ত অনুসারে, তারা এই অনুরোধগুলি পরিবেশনে অংশ নেয় পৃপ্রতিটি চ্যানেলের জন্য p এর সমান পরিষেবা প্রবাহের তীব্রতা সহ অভিন্ন চ্যানেল। এই ক্ষেত্রে, পরিষেবা প্রবাহের মোট তীব্রতা এই রাজ্য পর্যন্ত নতুন চ্যানেলগুলির সংযোগের সাথে বৃদ্ধি পায় এসএন,যখন সব পৃচ্যানেলগুলো ব্যস্ত থাকবে। সারির উপস্থিতির সাথে, পরিষেবার তীব্রতা আর বাড়ে না, যেহেতু এটি ইতিমধ্যেই সমান সর্বোচ্চ মান পৌঁছেছে পিএইচ

আসুন রাষ্ট্রের সীমিত সম্ভাবনার জন্য অভিব্যক্তি লিখি

হর p এর সাথে পদের যোগফলের জন্য জ্যামিতিক অগ্রগতি সূত্র ব্যবহার করে rho-এর অভিব্যক্তিকে রূপান্তরিত করা যেতে পারে /পি:

একটি সারির গঠন সম্ভব যখন একটি নতুন প্রাপ্ত অ্যাপ্লিকেশন অন্তত সিস্টেমে খুঁজে পায় পৃপ্রয়োজনীয়তা, যেমন যখন সিস্টেম হবে p, p + 1, পৃ + 2, (পৃ + টি- 1) প্রয়োজনীয়তা। এই ইভেন্টগুলি স্বাধীন, তাই সমস্ত চ্যানেল ব্যস্ত থাকার সম্ভাবনা সংশ্লিষ্ট সম্ভাব্যতার সমষ্টির সমান r yu Rp+bPp+2 >> Рп+т- 1- অতএব, সারি গঠনের সম্ভাবনা

সেবা অস্বীকার করার সম্ভাবনা যখন সব ঘটে পৃচ্যানেল এবং সবকিছু টিলাইনের জায়গা পূর্ণ

আপেক্ষিক থ্রুপুট সমান হবে

পরম থ্রুপুট

ব্যস্ত চ্যানেলের গড় সংখ্যা

নিষ্ক্রিয় চ্যানেলের গড় সংখ্যা

চ্যানেল দখল (ব্যবহার) অনুপাত

চ্যানেল ডাউনটাইম অনুপাত

সারিতে থাকা আবেদনের গড় সংখ্যা

যদি r/n = 1, এই সূত্রটি একটি ভিন্ন রূপ নেয়:

একটি সারিতে অপেক্ষার গড় সময় লিটল এর সূত্র দ্বারা নির্ধারিত হয়

একটি একক-চ্যানেল QS-এর মতো একটি অ্যাপ্লিকেশন QS-এ থাকার গড় সময়, সারিতে থাকা গড় অপেক্ষার সময় থেকে 1/p এর সমান পরিষেবা সময় বেশি, যেহেতু অ্যাপ্লিকেশনটি সর্বদা শুধুমাত্র একটি চ্যানেল দ্বারা পরিবেশিত হয়:

উদাহরণ 5.21। মিনিমার্কেট প্রতি মিনিটে ছয় গ্রাহকের তীব্রতার সাথে গ্রাহকদের একটি প্রবাহ পায়, যাদের প্রতি মিনিটে দুই গ্রাহকের তীব্রতার সাথে তিনজন ক্যাশিয়ার দ্বারা পরিবেশিত হয়। সারির দৈর্ঘ্য পাঁচজন গ্রাহকের মধ্যে সীমাবদ্ধ। QS এর বৈশিষ্ট্য নির্ধারণ করুন এবং এর কর্মক্ষমতা মূল্যায়ন করুন।

সমাধান

n = 3; টি = 5; এক্স =6; p = 2; p =X/x = 3; r/n = 1.

আমরা QS রাজ্যের সীমিত সম্ভাবনা খুঁজে পাই:

ক্যাশিয়ারদের জন্য ডাউনটাইমের ভাগ

সম্ভাবনা যে শুধুমাত্র একটি চ্যানেল সার্ভিসিং সঙ্গে দখল করা হয়

দুটি চ্যানেল সার্ভিসিং এর সাথে ব্যাপৃত হওয়ার সম্ভাবনা

তিনটি চ্যানেলই ব্যস্ত থাকার সম্ভাবনা বেশি

তিনটি চ্যানেল এবং সারিতে থাকা পাঁচটি স্থান দখল করার সম্ভাবনা বেশি

সেবা অস্বীকার করার সম্ভাবনা দেখা দেয় যখন k = t + n = = 5 + 3 = 8 এবং হয় р$ = р OTK = 0,127.

QS এর আপেক্ষিক এবং পরম ক্ষমতা যথাক্রমে সমান প্র = 1 - আর খোলা= 0.873 এবং এল = 0.873A। = 5.24 (গ্রাহক/মিনিট)।

ব্যস্ত চ্যানেলের গড় সংখ্যা এবং গড় সারির দৈর্ঘ্য হল:

কিউএস-এ থাকার গড় অপেক্ষার সময় অনুরূপভাবে সমান:

মিনিমার্কেটের পরিষেবা ব্যবস্থা উচ্চ প্রশংসার দাবি রাখে, যেহেতু সারির গড় দৈর্ঘ্য এবং একজন গ্রাহক সারিতে থাকা গড় সময় কম।

উদাহরণ 5.22। গড়ে, ফল এবং উদ্ভিজ্জ পণ্য সহ যানবাহন প্রতি 30 মিনিটে ফল এবং উদ্ভিজ্জ ডিপোতে আসে। একটি ট্রাক আনলোড করার গড় সময় 1.5 ঘন্টা। আনলোডিং লোডারদের দুটি দল দ্বারা সঞ্চালিত হয়। বেসের অঞ্চলে, অবতরণ পর্যায়ে চারটির বেশি যানবাহন লাইনে থাকতে পারে না, আনলোডিংয়ের জন্য অপেক্ষা করে। আমরা সূচক নির্ধারণ করব এবং QS-এর কর্মক্ষমতা মূল্যায়ন করব।

সমাধান

SMO দুই-চ্যানেল, পৃ= 2 লাইনে সীমিত সংখ্যক স্থান সহ মি= 4, আগত প্রবাহের তীব্রতা l। = 2 av/h, পরিষেবার তীব্রতা c = 2/3 av/h, লোডের তীব্রতা p = A./p = 3, r/n = 3/2 = 1,5.

আমরা QS এর বৈশিষ্ট্যগুলি নির্ধারণ করি:

কোন যানবাহন না থাকলে সমস্ত ক্রু লোড হয় না এমন সম্ভাবনা

আনলোডের অধীনে দুটি গাড়ি এবং সারিতে চারটি গাড়ি থাকলে ব্যর্থতার সম্ভাবনা,

সারিবদ্ধ গাড়ির গড় সংখ্যা

লোডারদের ডাউনটাইমের ভাগ খুব কম এবং কাজের সময়ের মাত্র 1.58%, এবং প্রত্যাখ্যানের সম্ভাবনা বেশি - প্রাপ্ত অ্যাপ্লিকেশনগুলির 36% আনলোড করা প্রত্যাখ্যান করা হয়েছে, উভয় দলই প্রায় সম্পূর্ণভাবে দখল করেছে, কর্মসংস্থান সহগ একের কাছাকাছি এবং 0.96 এর সমান, আপেক্ষিক থ্রুপুট কম - প্রাপ্ত অ্যাপ্লিকেশনগুলির মাত্র 64% পরিষেবা দেওয়া হবে, সারির গড় দৈর্ঘ্য 2.6 গাড়ি, তাই, SM O পরিষেবার জন্য অনুরোধগুলি পূরণের সাথে মানিয়ে নিতে পারে না এবং এটি প্রয়োজনীয় লোডারদের দলের সংখ্যা বৃদ্ধি করুন এবং অবতরণ পর্যায়ের ক্ষমতার ব্যাপক ব্যবহার করুন।

উদাহরণ 5.23। একটি বাণিজ্যিক কোম্পানি 6 ইউনিটের তীব্রতার সাথে এলোমেলো সময়ে একটি শহরতলির রাষ্ট্রীয় খামারের গ্রিনহাউস থেকে প্রাথমিক সবজি গ্রহণ করে। আপনি আপনার স্বাগত ধন্যবাদ. ইউটিলিটি রুম, সরঞ্জাম এবং শ্রম সংস্থানগুলি আমাদেরকে 2 ইউনিটের পরিমাণে পণ্য প্রক্রিয়াকরণ এবং সংরক্ষণ করার অনুমতি দেয়। কোম্পানীটি চারজন লোক নিয়োগ করে, যাদের প্রত্যেকে গড়ে 4 ঘন্টার মধ্যে একটি ডেলিভারির পণ্য প্রক্রিয়া করতে পারে। শিফট কাজের সময় কাজের দিন 12 ঘন্টা। গুদামের ক্ষমতা কত হওয়া উচিত যাতে পণ্যগুলির সম্পূর্ণ প্রক্রিয়াকরণ করা যায় প্রসবের সংখ্যার অন্তত 97% হবে?

সমাধান

চলুন বিভিন্ন স্টোরেজ ক্ষমতার মানগুলির জন্য ক্রমানুসারে QS সূচকগুলি নির্ধারণ করে সমস্যার সমাধান করি টি= 2, 3, 4, 5, ইত্যাদি। এবং একটি প্রদত্ত মান সহ পরিষেবার সম্ভাব্যতা গণনার প্রতিটি পর্যায়ে তুলনা р 0 ()С = 0,97.

লোডের তীব্রতা নির্ধারণ করুন:

আমরা ডাউনটাইমের সম্ভাব্যতা বা সময়ের ভগ্নাংশ খুঁজে পাই t = 2:

পরিষেবা অস্বীকার করার সম্ভাবনা, বা হারানো আবেদনের অনুপাত,

পরিষেবার সম্ভাবনা, বা প্রাপ্তদের মধ্যে পরিবেশিত অ্যাপ্লিকেশনগুলির অনুপাত হল৷

যেহেতু প্রাপ্ত মানটি 0.97 এর নির্দিষ্ট মানের চেয়ে কম, আমরা এর জন্য গণনা চালিয়ে যাচ্ছি টি= 3. এই মানের জন্য, QS রাজ্যগুলির সূচকগুলির মান রয়েছে৷

এই ক্ষেত্রে পরিষেবার সম্ভাবনাও নির্দিষ্ট মানের চেয়ে কম, তাই আমরা পরবর্তী জন্য গণনা চালিয়ে যাচ্ছি t = 4, যার জন্য রাষ্ট্রীয় সূচকগুলির নিম্নলিখিত মান রয়েছে: p$ = 0.12; Rotk = 0.028; Pofc = 0.972। এখন পরিষেবা সম্ভাব্যতার প্রাপ্ত মান সমস্যার শর্তগুলিকে সন্তুষ্ট করে, যেহেতু 0.972 > 0.97, তাই, গুদামের ক্ষমতা অবশ্যই 4 ইউনিটের ভলিউমে বাড়ানো উচিত।

পরিষেবার একটি প্রদত্ত সম্ভাবনা অর্জনের জন্য, আপনি একইভাবে সবজি প্রক্রিয়াকরণের জন্য সর্বোত্তম সংখ্যক লোক নির্বাচন করতে পারেন ক্রমানুসারে QS সূচকগুলি গণনা করে n = 3, 4, 5, ইত্যাদি সিএমও সংস্থাগুলির জন্য কর্মচারীর সংখ্যা বৃদ্ধি এবং একটি বাণিজ্যিক উদ্যোগে শাকসবজি প্রক্রিয়াকরণের জন্য বিশেষ প্রযুক্তিগত সরঞ্জাম তৈরি উভয়ের সাথে সম্পর্কিত ব্যয়ের তুলনা এবং বৈপরীত্যের মাধ্যমে একটি আপস সমাধান পাওয়া যেতে পারে।

এইভাবে, কাজগুলি নির্ধারণের অর্থনৈতিক পদ্ধতির সাথে সারিবদ্ধ মডেলগুলি বিদ্যমান QS সিস্টেমগুলিকে বিশ্লেষণ করা, অপারেশনাল দক্ষতা উন্নত করার জন্য তাদের পুনর্গঠনের জন্য সুপারিশগুলি বিকাশ করা এবং নতুন তৈরি QS সিস্টেমগুলির সর্বোত্তম কর্মক্ষমতা নির্ধারণ করা সম্ভব করে তোলে।

উদাহরণ 5.24। গড়ে, নয়টি গাড়ি প্রতি ঘণ্টায় একটি কার ওয়াশের জন্য আসে, কিন্তু যদি ইতিমধ্যেই চারটি গাড়ি সারিতে থাকে, নতুন আগত গ্রাহকরা, একটি নিয়ম হিসাবে, সারিতে যোগ দেন না, বরং গাড়ি চালিয়ে যান৷ একটি গাড়ি ধোয়ার গড় সময় 20 মিনিট, এবং এটি ধোয়ার জন্য মাত্র দুটি জায়গা আছে। একটি গাড়ি ধোয়ার গড় খরচ 70 রুবেল। দিনের বেলা একটি গাড়ী ধোয়ার জন্য রাজস্বের গড় ক্ষতি নির্ধারণ করুন।

সমাধান

এক্স= 9 গাড়ি/ঘন্টা; = 20 মিনিট; p = 2;t = 4.

লোডের তীব্রতা খোঁজা হচ্ছে গাড়ী ধোয়ার ডাউনটাইমের শতাংশ নির্ধারণ করা

ব্যর্থতার সম্ভাবনা

আপেক্ষিক ক্ষমতা পরম ক্ষমতার সমান সারিতে থাকা গাড়ির গড় সংখ্যা

পরিসেবা করা হচ্ছে অ্যাপ্লিকেশনের গড় সংখ্যা

সারিতে অপেক্ষার গড় সময়

গাড়ি ধোয়ার সময় একটি গাড়ির গড় সময়

এইভাবে, 34% অ্যাপ্লিকেশন পরিষেবা দেওয়া হবে না, একদিনে 12 ঘন্টা কাজের জন্য ক্ষতির পরিমাণ গড়ে 2570 রুবেল হবে। (12*9* 0.34 70), যেমন মোট রাজস্বের 52%, কারণ r open = 0,52 p 0^s।

• আপেক্ষিক থ্রুপুট, বা পরিষেবার সম্ভাবনা, পরম থ্রুপুট, দখলকৃত ক্রুদের গড় সংখ্যা, লোডার ক্রুদের দখলের হার

QS পরিষেবার উদ্দেশ্য. অনলাইন ক্যালকুলেটরটি একক-চ্যানেল QS-এর নিম্নলিখিত সূচকগুলি গণনা করার জন্য ডিজাইন করা হয়েছে:

• চ্যানেল ব্যর্থতার সম্ভাবনা, একটি বিনামূল্যে চ্যানেলের সম্ভাবনা, পরম থ্রুপুট;
• আপেক্ষিক থ্রুপুট, গড় পরিষেবা সময়, গড় চ্যানেল ডাউনটাইম।

নির্দেশনা। অনলাইনে এই ধরনের সমস্যা সমাধানের জন্য, QS মডেল নির্বাচন করুন। উল্লেখ করুন চাহিদা প্রবাহের তীব্রতা λএবং পরিষেবা প্রবাহ তীব্রতা μ. সীমিত সারির দৈর্ঘ্য সহ একটি একক-চ্যানেল QS-এর জন্য, আপনি নির্দিষ্ট করতে পারেন সারি দৈর্ঘ্য মি, এবং সীমাহীন সারি সহ একটি একক-চ্যানেল QS-এর জন্য - সারিতে থাকা অ্যাপ্লিকেশনের সংখ্যা (এই অ্যাপ্লিকেশনগুলি সারিতে থাকার সম্ভাবনা গণনা করতে)। উদাহরণ সমাধান দেখুন। . ফলস্বরূপ সমাধানটি একটি ওয়ার্ড ফাইলে সংরক্ষিত হয়।

একক-চ্যানেল সারিবদ্ধ সিস্টেমের শ্রেণীবিভাগ

উদাহরণ নং 1। অটো গ্যাস স্টেশন আছে একগ্যাস স্টেশন. ধারণা করা হয় যে গাড়ির সহজতম প্রবাহ λ=১১ গাড়ি/ঘন্টার তীব্রতার সাথে স্টেশনে প্রবেশ করে। রিকোয়েস্ট সার্ভিসিং টাইম হল একটি এলোমেলো পরিবর্তনশীল যা μ=14 যানবাহন/ঘন্টা প্যারামিটার সহ একটি সূচকীয় আইন মেনে চলে। স্টেশনে গাড়ির গড় সংখ্যা নির্ধারণ করুন।

উদাহরণ নং 2। একটি পরিদর্শন গোষ্ঠীর সাথে মেশিনগুলির প্রতিরোধমূলক পরিদর্শন করার জন্য একটি বিন্দু রয়েছে। প্রতিটি মেশিনে ত্রুটিগুলি পরিদর্শন এবং সনাক্ত করতে গড়ে 0.4 ঘন্টা সময় লাগে৷ গড়ে, প্রতিদিন পরিদর্শনের জন্য 328টি গাড়ি পাওয়া যায়। অনুরোধ এবং পরিষেবার প্রবাহ সবচেয়ে সহজ। পরিদর্শন পয়েন্টে আগত একটি গাড়ি যদি কোনো চ্যানেল বিনামূল্যে না পায়, তাহলে এটি পরিদর্শন পয়েন্টটিকে অপরিবর্তিত রেখে দেয়। প্রতিরোধমূলক পরিদর্শন পয়েন্টের শর্ত এবং রক্ষণাবেক্ষণের বৈশিষ্ট্যগুলির সীমিত সম্ভাবনা নির্ধারণ করুন।
সমাধান। এখানে α = 328/24 ≈ = 13.67, t = 0.4। এই ডেটা অবশ্যই ক্যালকুলেটরে প্রবেশ করতে হবে।