Kursinis darbas: Eilių sistema su ribotu laukimo laiku. Pamokos santrauka "eilių sistemų teorija" Vieno kanalo eilių paslauga su ribotos eilės pavyzdžiu
Eilių sistemos operacijos arba efektyvumas yra toks.Dėl QS su gedimais:
Dėl SMO su neribotu laukimu tiek absoliutus, tiek santykinis pralaidumas praranda prasmę, nes kiekviena gaunama užklausa anksčiau ar vėliau bus aptarnauta. Tokio QS svarbūs rodikliai yra šie:
Dėl Mišrus tipas QS naudojamos abi rodiklių grupės: tiek santykinė, tiek absoliutus pralaidumas, ir lūkesčių ypatybės.
Priklausomai nuo eilės operacijos tikslo, efektyvumo kriterijumi gali būti pasirinktas bet kuris iš nurodytų rodiklių (arba rodiklių rinkinys).
Analitinis modelis QS yra lygčių arba formulių rinkinys, leidžiantis nustatyti sistemos būsenų tikimybę jos veikimo metu ir apskaičiuoti veiklos rodiklius pagal žinomas įeinančio srauto ir paslaugų kanalų charakteristikas.
Nėra bendro savavališko QS analitinio modelio. Analitiniai modeliai buvo sukurti ribotam skaičiui ypatingų QS atvejų. Analitiniai modeliai, kurie daugiau ar mažiau tiksliai atspindi realias sistemas, paprastai yra sudėtingi ir sunkiai vizualizuojami.
Analitinis QS modeliavimas labai palengvinamas, jei QS vykstantys procesai yra Markovo (užklausų srautai paprasti, aptarnavimo laikas pasiskirstęs eksponentiškai). Šiuo atveju visus QS procesus galima apibūdinti įprastomis diferencialinėmis lygtimis, o ribiniu atveju stacionarioms būsenoms – tiesinėmis algebrinėmis lygtimis ir jas išsprendus galima nustatyti pasirinktus efektyvumo rodiklius.
Pažvelkime į kai kurių QS pavyzdžius.
2.5.1. Daugiakanalis QS su gedimais
2.5 pavyzdys. Trys eismo inspektoriai tikrina vilkikų vairuotojų važtaraščius. Jei bent vienas tikrintojas yra laisvas, pravažiuojantis sunkvežimis sustabdomas. Jei visi tikrintojai užsiėmę, sunkvežimis pravažiuoja nesustodamas. Sunkvežimių srautas paprastas, tikrinimo laikas atsitiktinis su eksponentiniu pasiskirstymu.
Šią situaciją galima modeliuoti trijų kanalų QS su gedimais (be eilės). Sistema yra atvirojo ciklo, su vienarūšiais užklausomis, vienfazis, su visiškai patikimais kanalais.
Būsenų aprašymas:
Visi inspektoriai yra nemokami;
Vienas inspektorius užimtas;
Du inspektoriai užimti;
Trys inspektoriai yra užimti.
Sistemos būsenos grafikas parodytas fig. 2.11.
Ryžiai. 2.11.
Grafike: - sunkvežimio srauto intensyvumas; - vieno eismo inspektoriaus dokumentų tikrinimo intensyvumas.
Modeliavimas atliekamas siekiant nustatyti, kuri transporto priemonių dalis nebus bandoma.
Sprendimas
Reikalinga tikimybės dalis yra visų trijų inspektorių įsidarbinimo tikimybė. Kadangi būsenos grafikas vaizduoja tipišką „mirties ir dauginimosi“ schemą, rasime naudojant priklausomybes (2.2).
Galima apibūdinti šio eismo inspektoriaus posto pralaidumą santykinis pralaidumas:
2.6 pavyzdys. Žvalgybos grupės pranešimams priimti ir apdoroti asociacijos žvalgybos skyriuje buvo paskirta trijų karininkų grupė. Numatomas pranešimų srauto intensyvumas – 15 pranešimų per valandą. Vidutinis vieno pareigūno pranešimo apdorojimo laikas yra . Kiekvienas pareigūnas gali gauti pranešimus iš bet kurios žvalgybos grupės. Atleistas pareigūnas apdoroja paskutinius gautus pranešimus. Gaunamos ataskaitos turi būti apdorotos ne mažesne kaip 95 % tikimybe.
Nustatykite, ar paskirtos trijų pareigūnų komandos pakanka paskirtai užduočiai atlikti.
Sprendimas
Pareigūnų grupė veikia kaip BRO su nesėkmėmis, susidedanti iš trijų kanalų.
Ataskaitų srautas su intensyvumu 
Galima laikyti paprasčiausia, nes tai kelių žvalgybos grupių visuma. Aptarnavimo intensyvumas 
. Paskirstymo dėsnis nežinomas, bet tai nesvarbu, nes buvo įrodyta, kad sistemose su gedimais jis gali būti savavališkas.
Būsenų aprašymas ir QS būsenos grafikas bus panašūs į pateiktus 2.5 pavyzdyje.
Kadangi būsenos grafikas yra „mirties ir dauginimosi“ schema, jai yra paruoštos ribojančios būsenos tikimybės išraiškos:
Požiūris vadinamas atsižvelgiant į programų srauto intensyvumą. Jo fizinė reikšmė yra tokia: reikšmė rodo vidutinį užklausų, gaunamų į QS, skaičių per vidutinį vienos užklausos aptarnavimo laiką.
Pavyzdyje 
.
Nagrinėjamoje QS gedimas įvyksta, kai visi trys kanalai yra užimti, t. Tada:
Nes nesėkmės tikimybė ataskaitų apdorojime yra daugiau nei 34% (), tuomet būtina didinti grupės personalą. Padvigubinkime grupės sudėtį, tai yra, BRO dabar turės šešis kanalus ir apskaičiuokime:
Taigi tik šešių pareigūnų grupė galės apdoroti gaunamus pranešimus 95% tikimybe.
2.5.2. Kelių kanalų QS su laukimu
2.7 pavyzdys. Upės kirtimo ruože yra 15 panašių perėjimo įrenginių. Į perėją atvykstančios technikos srautas yra vidutiniškai 1 vnt./min, vidutinis vieno technikos vieneto kirtimo laikas – 10 minučių (įskaitant pervažos transporto priemonės sugrįžimą).
Įvertinkite pagrindines perėjos ypatybes, įskaitant tikimybę nedelsiant kirsti, kai tik atvyks įrangos vienetas.
Sprendimas
Absoliutus pralaidumas, t.y., viskas, kas artėja prie perėjos, praktiškai iš karto kertama.
Vidutinis veikiančių perėjimo įrenginių skaičius:
Kelto naudojimo ir prastovų tarifai:
Taip pat buvo sukurta programa pavyzdžiui išspręsti. Laiko intervalai, per kuriuos įranga atvyksta į pervažą, ir kirtimo laikas yra paskirstyti pagal eksponentinį dėsnį.
Pervažos panaudojimo rodikliai po 50 važiavimų yra beveik tokie patys: 
.
Maksimalus eilės ilgis – 15 vnt., vidutinis laikas eilėje apie 10 minučių.
Panagrinėkime paprasčiausią QS su laukimu – vieno kanalo sistemą, kuri intensyviai priima užklausų srautą; paslaugų intensyvumas (t. y. vidutiniškai nuolat užimtas kanalas aptarnaujamas užklausas išduos per (laiko) vienetą. Užklausa, gauta tuo metu, kai kanalas užimtas, yra eilėje ir laukia paslaugos.
Sistema su ribotu eilės ilgiu. Pirmiausia darykime prielaidą, kad vietų skaičių eilėje riboja skaičius , t. y. jei programa ateina tuo metu, kai eilėje jau yra programų, ji palieka neaptarnaujamą sistemą. Ateityje, skubėdami į begalybę, įgausime vieno kanalo QS charakteristikas be eilės ilgio apribojimų.
QS būsenas sunumeruosime pagal aplikacijų skaičių sistemoje (tiek aptarnaujamų, tiek laukiančių):
Kanalas nemokamas;
Kanalas užimtas, eilės nėra;
Kanalas užimtas, viena programa yra eilėje;
Kanalas užimtas, programos yra eilėje;
Kanalas užimtas, daugybė programų yra eilėje.
GSP parodyta fig. 5.8. Visi įvykių srautai, judantys į sistemą pagal rodykles iš kairės į dešinę, yra lygūs , o iš dešinės į kairę - . Iš tiesų, užklausų srautas perkelia sistemą išilgai rodyklių iš kairės į dešinę (kai tik gaunama užklausa, sistema pereina į kitą būseną), o iš dešinės į kairę vyksta užimto kanalo „išleidimų“ srautas. , kuris turi intensyvumą (kai tik bus aptarnaujama kita užklausa, kanalas arba taps laisvas, arba sumažės eilėje esančių programų skaičius).
Ryžiai. 5.8. Vieno kanalo QS su laukimu
Parodyta pav. 5.8 diagrama yra dauginimosi ir mirties diagrama. Naudodamiesi bendruoju sprendiniu (5.32)-(5.34), rašome būsenų ribojamųjų tikimybių išraiškas (taip pat žr. (5.40)):
arba naudojant:
Paskutinėje (5.45) eilutėje yra geometrinė progresija, kurios pirmasis narys yra 1 ir vardiklis p; kur gauname:
dėl kurių ribojančios tikimybės yra tokios formos:
Išraiška (5.46) galioja tik (nes suteikia formos neapibrėžtumą ). Geometrinės progresijos su vardikliu suma yra lygi Ir šiuo atveju
Nustatykime QS charakteristikas: gedimo tikimybę, santykinį pralaidumą, absoliutų pralaidumą, vidutinį eilės ilgį, vidutinį su sistema susijusių programų skaičių, vidutinį laukimo laiką eilėje, vidutinį laiką, praleistą QS.
Nesėkmės tikimybė. Akivaizdu, kad paraiška atmetama tik tuo atveju, jei kanalas užimtas ir visos eilės vietos taip pat užimtos:
Santykinis pralaidumas:
Absoliutus pralaidumas:
Vidutinis eilės ilgis. Raskime vidutinį paraiškų skaičių eilėje kaip matematinį diskretinio atsitiktinio dydžio lūkestį – paraiškų skaičių eilėje:
Su tikimybe eilėje yra viena programa, su tikimybe yra dvi programos, apskritai su tikimybe eilėje yra programų ir pan., iš kur:
Kadangi , (5.50) suma gali būti interpretuojama kaip išvestinė geometrinės progresijos sumos atžvilgiu:
Pakeitę šią išraišką į (5.50) ir naudodami iš (5.47), galiausiai gauname:
Vidutinis programų skaičius sistemoje. Toliau gauname vidutinio su sistema susijusių programų (tiek stovinčių eilėje, tiek aptarnaujamų) skaičiaus formulę. Kadangi yra žinomas vidutinis aptarnaujamų programų skaičius, belieka nustatyti . Kadangi yra tik vienas kanalas, aptarnaujamų užklausų skaičius gali būti lygus (su tikimybe ) arba 1 (su tikimybe ), iš kurių:
o vidutinis su QS susijusių programų skaičius yra
Vidutinis paraiškos laukimo laikas eilėje. Pažymėkime tai; jei užklausa ateina į sistemą tam tikru momentu, tada greičiausiai aptarnavimo kanalas nebus užimtas ir jam nereikės laukti eilėje (laukimo laikas lygus nuliui). Greičiausiai ji ateis į sistemą, kol bus aptarnaujama kokia nors užklausa, tačiau prieš ją nebus eilės, o užklausa kurį laiką lauks jos aptarnavimo pradžios (vidutinis jos aptarnavimo laikas). prašymas). Yra tikimybė, kad prieš paraiškos svarstymą eilėje bus dar viena paraiška, o vidutinis laukimo laikas bus lygus ir pan.
Jei, t.y., kai naujai gauta užklausa nustato, kad paslaugų kanalas užimtas, o programos yra eilėje (to tikimybė), tada tokiu atveju užklausa nepatenka į eilę (ir nėra aptarnaujama), todėl laukimo laikas yra lygus nuliui. . Vidutinis laukimo laikas bus:
jei tikimybes (5.47) čia pakeisime išraiškomis, gausime:
Čia naudojame ryšius (5.50), (5.51) (geometrinės progresijos išvestinė), taip pat iš (5.47). Palyginus šią išraišką su (5.51), pastebime, kad kitaip tariant, vidutinis laukimo laikas yra lygus vidutiniam eilėje esančių programų skaičiui, padalytam iš programų srauto intensyvumo.
Vidutinis programos buvimo sistemoje laikas. Pažymime matematinį atsitiktinio dydžio lūkestį – užklausos buvimo QS laiką, kuris yra vidutinio laukimo eilėje ir vidutinio aptarnavimo laiko suma. Jei sistemos apkrova yra 100%, aišku, kitaip
5.6 pavyzdys. Degalinė (degalinė) – tai degalinė su vienu aptarnavimo kanalu (viena kolona).
Teritorijoje prie stoties vienu metu eilėje prie degalų papildymo gali stovėti ne daugiau kaip trys automobiliai. Jei eilėje jau yra trys automobiliai, kitas į stotį atvažiuojantis automobilis į eilę nestoja. Degalų papildymui atvykstančių automobilių srautas turi intensyvumą (automobilis per minutę). Degalų papildymo procesas trunka vidutiniškai 1,25 min.
Apibrėžkite:
nesėkmės tikimybė;
santykinis ir absoliutus degalinių pajėgumas;
vidutinis automobilių, laukiančių degalų papildymo, skaičius;
vidutinis automobilių skaičius degalinėje (įskaitant ir aptarnaujamus);
vidutinis automobilio laukimo laikas eilėje;
vidutinis laikas, kurį automobilis praleidžia degalinėje (įskaitant servisą).
kitaip tariant, vidutinis laukimo laikas yra lygus vidutiniam paraiškų skaičiui eilėje, padalytam iš programų srauto intensyvumo.
Pirmiausia nustatome sumažintą programų srauto intensyvumą:
Pagal formules (5.47):
Nesėkmės tikimybė.
Santykinis QS pajėgumas
Absoliutus QS pralaidumas
Automobiliai per min.
Vidutinį automobilių skaičių eilėje randame pagal formulę (5.51)
y., vidutinis automobilių, laukiančių eilėje prie degalų, skaičius yra 1,56.
Prie šios vertės pridėjus vidutinį aptarnaujamų transporto priemonių skaičių
gauname vidutinį su degaline susietų automobilių skaičių.
Vidutinis automobilio laukimo laikas eilėje pagal formulę (5.54)
Pridėjus šią vertę, gauname vidutinį laiką, kurį automobilis praleidžia degalinėje:
Neribotos laukimo sistemos. Tokiose sistemose m reikšmė neribojama ir todėl pagrindines charakteristikas galima gauti pereinant prie ribos anksčiau gautose išraiškose (5.44), (5.45) ir kt.
Atkreipkite dėmesį, kad paskutinės formulės (5.45) vardiklis yra begalinio skaičiaus geometrinės progresijos narių suma. Ši suma susilieja, kai progresija be galo mažėja, ty kai .
Galima įrodyti, kad yra sąlyga, kuriai esant QS su laukimu egzistuoja ribojantis pastovios būsenos režimas, kitu atveju tokio režimo nėra, o eilė bus be apribojimų. Todėl toliau daroma prielaida, kad .
Jei , tada santykiai (5.47) turi tokią formą:
Jei nėra apribojimų eilės ilgiui, kiekviena į sistemą patekusi programa bus aptarnaujama, todėl
Vidutinį paraiškų skaičių eilėje gauname iš (5.51) adresu:
Vidutinis paraiškų skaičius sistemoje pagal formulę (5.52) su
Iš formulės gauname vidutinį laukimo laiką
(5.53) adresu:
Galiausiai, vidutinis programos buvimo QS laikas yra
Kelių kanalų QS su laukimu
Sistema su ribotu eilės ilgiu. Panagrinėkime kanalą QS su laukimu, kuris gauna užklausų srautą su intensyvumu ; paslaugų intensyvumas (vienam kanalui); vietų skaičius eilėje.
Sistemos būsenos sunumeruojamos pagal su sistema susijusių užklausų skaičių:
be eilės:
Visi kanalai nemokami;
Vienas kanalas užimtas, kiti nemokami;
Kanalai užimti, kiti ne;
Visi kanalai užimti, laisvų kanalų nėra;
yra eilė:
Visi n kanalų užimti; viena programa yra eilėje;
Visi n kanalų užimti, r programų yra eilėje;
Visi n kanalų užimti, r programų yra eilėje.
GSP parodyta fig. 5.9. Kiekviena rodyklė pažymėta atitinkamu įvykių srautų intensyvumu. Išilgai rodyklių iš kairės į dešinę sistema visada perduodama tuo pačiu užklausų srautu, kurio intensyvumas
Ryžiai. 5.9. Kelių kanalų QS su laukimu
Grafikas būdingas dauginimosi ir mirties procesams, kuriems anksčiau buvo gautas tirpalas (5.29)-(5.33). Būsenų ribinių tikimybių išraiškas parašykime naudodami žymėjimą: (čia naudojame geometrinės progresijos su vardikliu sumos išraišką).
Taigi visos būsenos tikimybės buvo rastos.
Leiskite mums nustatyti sistemos veikimo charakteristikas.
Nesėkmės tikimybė. Gauta paraiška atmetama, jei visi kanalai ir visos vietos eilėje yra užimtos:
Santykinis pralaidumas gedimo tikimybę papildo viena:
Absoliutus QS pralaidumas:
Vidutinis užimtų kanalų skaičius. QS su atmetimu atveju jis sutapo su vidutiniu prašymų skaičiumi sistemoje. QS su eile vidutinis užimtų kanalų skaičius nesutampa su vidutiniu programų skaičiumi sistemoje: pastaroji reikšmė nuo pirmosios skiriasi vidutiniu programų skaičiumi eilėje.
Vidutinį užimtų kanalų skaičių pažymėkime . Kiekvienas užimtas kanalas aptarnauja užklausų vidurkį per laiko vienetą, o visas QS – vidutiniškai užklausų per laiko vienetą. Padalinę vieną iš kito, gauname:
Vidutinis užklausų skaičius eilėje gali būti tiesiogiai apskaičiuotas kaip matematinis diskretiško atsitiktinio kintamojo lūkestis:
Čia vėlgi (išraiška skliausteliuose) atsiranda geometrinės progresijos sumos išvestinė (žr. aukščiau (5.50), (5.51)-(5.53)), naudojant jos santykį, gauname:
Vidutinis programų skaičius sistemoje:
Vidutinis paraiškos laukimo laikas eilėje. Panagrinėkime keletą situacijų, kurios skiriasi tuo, kokioje būsenoje naujai gauta užklausa suras sistemą ir kiek laiko reikės laukti, kol bus suteikta paslauga.
Jei užklausa neranda visų kanalų užimtų, jos visai nereikės laukti (atitinkami matematinio lūkesčio terminai yra lygūs nuliui). Jei užklausa gaunama tuo metu, kai visi kanalai yra užimti ir nėra eilės, ji turės laukti vidutiniškai tiek, kiek (nes kanalų „leidimų srauto“ intensyvumas yra ). Jei programa nustato, kad visi kanalai yra užimti, o viena programa prieš ją yra eilėje, ji turės laukti vidutiniškai tam tikrą laiką (kiekvienai priekyje esančiai programai) ir pan. Jei programa atsidurs programų eilėje , jo teks laukti vidutiniškai tam tikrą laiką. Jei naujai gauta programa jau randa eilėje esančias programas, ji visai nelauks (bet nebus aptarnaujama). Vidutinį laukimo laiką randame padauginę kiekvieną iš šių verčių iš atitinkamų tikimybių:
Kaip ir vieno kanalo QS su laukimu atveju, pastebime, kad ši išraiška nuo vidutinės eilės ilgio (5,59) išraiškos skiriasi tik koeficientu , t.y.
Vidutinė užklausos buvimo sistemoje laikas, kaip ir vieno kanalo QS, skiriasi nuo vidutinės laukimo trukmės iš vidutinio aptarnavimo laiko, padauginto iš santykinio pralaidumo:
Sistemos su neribotu eilės ilgiu. Mes svarstėme kanalą QS su laukimu, kai eilėje vienu metu gali būti ne daugiau nei užklausos.
Kaip ir anksčiau, analizuojant sistemas be apribojimų, reikia atsižvelgti į gautus ryšius .
Būsenų tikimybes gauname iš formulių (5.56), pereidami prie ribos (at ). Atkreipkite dėmesį, kad atitinkamos geometrinės progresijos suma konverguoja ir skiriasi ties . Darant prielaidą, kad ir nukreipus m reikšmę į begalybę formulėse (5.56), gauname būsenų ribinių tikimybių išraiškas:
Gedimo tikimybė, santykinis ir absoliutus pralaidumas. Kadangi kiekviena užklausa anksčiau ar vėliau bus aptarnauta, QS pralaidumo charakteristikos bus tokios:
Vidutinį paraiškų skaičių eilėje gauname nuo (5,59):
ir vidutinis laukimo laikas yra nuo (5,60):
Vidutinis užimtų kanalų skaičius, kaip ir anksčiau, nustatomas pagal absoliutų pralaidumą:
Vidutinis su QS susietų programų skaičius apibrėžiamas kaip vidutinis eilėje esančių programų skaičius ir vidutinis aptarnaujamų programų skaičius (vidutinis užimtų kanalų skaičius):
5.7 pavyzdys. Degalinė su dviem siurbliais () aptarnauja automobilių srautą intensyvumu (automobilių per minutę). Vidutinis mašinos aptarnavimo laikas
Kitos degalinės rajone nėra, todėl automobilių eilė prieš degalinę gali augti beveik neribotai. Raskite QS charakteristikas.
Kadangi , eilė neauga neribotą laiką ir prasminga kalbėti apie ribojantį stacionarų QS veikimo režimą. Naudodami (5.61) formules randame būsenų tikimybes:
Vidutinį užimtų kanalų skaičių rasime absoliučią QS pralaidumą padalinę iš paslaugos intensyvumo:
Tikimybė, kad degalinėje nebus eilės, bus:
Vidutinis eilėje esančių automobilių skaičius:
Vidutinis automobilių skaičius degalinėse:
Vidutinis laukimo laikas eilėje:
Vidutinis laikas, kurį automobilis praleidžia degalinėje:
QS su ribotu laukimo laiku. Anksčiau manėme, kad sistemas su laukimu riboja tik eilės ilgis (vienu metu eilėje esančių programų skaičius). Tokiame QS programa, patalpinta į eilę, nepalieka jos, kol laukia aptarnavimo. Praktikoje yra ir kitų tipų QS, kuriuose programa, šiek tiek palaukusi, gali išeiti iš eilės (vadinamosios „nekantrus“ programos).
Panagrinėkime šio tipo QS, darydami prielaidą, kad laukimo laiko apribojimas yra atsitiktinis kintamasis.
Tarkime, kad yra kanalas QS su laukimu, kuriame vietų skaičius eilėje nėra ribojamas, tačiau programos buvimo eilėje laikas yra koks nors atsitiktinis kintamasis, kurio vidutinė reikšmė , taigi kiekvienai programai, kuri yra eilė, savotiškas Puasono „išvykimų srautas“ veikia » su prašymų intensyvumu, jie stovi eilėje ir t.t.
Sistemos būsenų ir perėjimų grafikas parodytas fig. 5.10.
Ryžiai. 5.10. QS su ribotu laukimo laiku
Pažymėkime šį grafiką kaip ir anksčiau; visos rodyklės, vedančios iš kairės į dešinę, parodys programų srauto intensyvumą. Būsenoms be eilės rodyklės, vedančios iš dešinės į kairę, kaip ir anksčiau, parodys bendrą srauto, aptarnaujančio visus užimtus kanalus, intensyvumą. Kalbant apie būsenas, kuriose yra eilė, rodyklės, vedančios iš jų iš dešinės į kairę, parodys bendrą visų kanalų paslaugų srauto intensyvumą ir atitinkamą išvykimų iš eilės srauto intensyvumą. Jei eilėje yra programų, bendras išvykimų srauto intensyvumas bus lygus .
Kaip matyti iš grafiko, yra dauginimosi ir mirties modelis; Naudodami bendrąsias ribojančių būsenų tikimybių išraiškas šioje schemoje (naudojant sutrumpintą žymėjimą), rašome:
Atkreipkime dėmesį į kai kurias QS su ribotu laukimu ypatybes, palyginti su anksčiau svarstytomis QS su „paciento“ užklausomis.
Jei eilės ilgis neribotas, o prašymai „kantrūs“ (nepalikti iš eilės), tai stacionarus ribinis režimas egzistuoja tik tuo atveju (esant , divergo atitinkama begalinė geometrinė progresija, o tai fiziškai atitinka neribotą augimą iš eilės adresu ).
Priešingai, QS, kai „nekantrūs“ klientai anksčiau ar vėliau palieka eilę, nustatytas aptarnavimo režimas at visada pasiekiamas, nepaisant sumažėjusio klientų srauto intensyvumo, nesumuojant begalinių eilių (5.63). Iš (5.64) gauname:
ir vidutinį užimtų kanalų skaičių, įtrauktą į šią formulę, galima rasti kaip matematinį atsitiktinio kintamojo, kuris ima reikšmes su tikimybėmis, lūkesčius:
Apibendrinant pažymime, kad jei formulėse (5.62) einame iki ribos ties (arba, kas yra tas pats, ties ), tada ties gauname formules (5.61), t.y. „nekantrūs“ prašymai taps „kantrūs“.
Praktikoje gana dažnai galima rasti vieno kanalo medicinos paslaugas su eile (gydytojas, aptarnaujantis pacientus; taksofonas su viena kabina; kompiuteris, vykdantis vartotojo užsakymus). Eilių teorijoje ypatingą vietą užima ir vieno kanalo QS su eile (tokiems QS priklauso dauguma iki šiol gautų analitinių formulių ne Markovo sistemoms). Todėl ypatingą dėmesį skirsime vieno kanalo QS su eile.
Tegul būna vieno kanalo QS su eile, kuriai nėra taikomi jokie apribojimai (nei eilės ilgiui, nei laukimo laikui). Šis QS gauna programų srautą, kurio intensyvumas X; paslaugų srautas turi atvirkštinį intensyvumą vidutiniam užklausos aptarnavimo laikui, reikia rasti galutines QS būsenų tikimybes bei efektyvumo charakteristikas:
Vidutinis programų skaičius sistemoje,
Vidutinis programos buvimo sistemoje laikas,
Vidutinis eilėje esančių paraiškų skaičius,
Vidutinis laikas, kurį programa praleidžia eilėje,
Tikimybė, kad kanalas užimtas (kanalo apkrova).
Kalbant apie absoliutų pralaidumą A ir santykinį Q, jų skaičiuoti nereikia: dėl to, kad eilė yra neribota, kiekviena užklausa anksčiau ar vėliau bus aptarnauta, todėl dėl tos pačios priežasties
Sprendimas. Kaip ir anksčiau, sistemos būsenas sunumeruosime pagal programų skaičių QS:
Kanalas nemokamas
Kanalas užimtas (aptarnauja užklausą), nėra eilės,
Kanalas užimtas, viena užklausa yra eilėje,
Kanalas užimtas, programos yra eilėje,
Teoriškai būsenų skaičius yra neribotas (begalinis). Būsenos grafikas turi tokią formą, kaip parodyta pav. 20.2. Tai mirties ir dauginimosi schema, bet su begaliniu būsenų skaičiumi. Išilgai visų rodyklių A intensyvumo užklausų srautas perkelia sistemą iš kairės į dešinę, o iš dešinės į kairę - paslaugų srautą intensyviai.
Visų pirma, paklauskime savęs, ar šiuo atveju yra galutinės tikimybės? Juk sistemos būsenų skaičius yra begalinis, ir iš principo eilė gali didėti neribotai! Taip, taip yra: galutinės tikimybės tokiam QS yra ne visada, bet tik tada, kai sistema nėra perkrauta. Galima įrodyti, kad jei griežtai mažiau nei vienas, tai yra galutinės tikimybės, o kai eilė ties auga be apribojimų. Šis faktas atrodo ypač „nesuprantamas“, kai atrodo, kad sistemai nekeliami neįmanomi reikalavimai: per vienos programos aptarnavimo laiką vidutiniškai atkeliauja viena programėlė, ir viskas turėtų būti tvarkoje, tačiau iš tikrųjų taip nėra.
Su QS jis susidoroja su užklausų srautu tik tuo atveju, jei šis srautas yra reguliarus, o aptarnavimo laikas taip pat nėra atsitiktinis, lygus intervalui tarp užklausų. Šiuo „idealiu“ atveju iš viso nebus eilės, kanalas bus nuolat užimtas ir reguliariai teiks aptarnaujamas užklausas. Tačiau kai tik programų srautas ar paslaugų srautas taps nors kiek atsitiktinis, eilė išaugs iki begalybės. Praktiškai tai neįvyksta tik todėl, kad „begalinis programų skaičius eilėje“ yra abstrakcija. Tai yra didelės klaidos, kurios gali atsirasti atsitiktinius dydžius pakeitus jų matematiniais lūkesčiais!
Bet grįžkime prie vieno kanalo QS su neribota eile. Griežtai kalbant, galutinių tikimybių formules mirties ir dauginimosi schemoje išvedėme tik baigtinio būsenų skaičiaus atveju, bet pasiimkime laisvę naudoti jas begaliniam būsenų skaičiui. Apskaičiuokime galutines būsenų tikimybes pagal (19.8), (19.7) formules. Mūsų atveju terminų skaičius formulėje (19.8) bus begalinis. Gauname išraišką už
(20.11) formulės eilutė yra geometrinė progresija. Žinome, kad eilutė suartėja – tai be galo mažėjanti geometrinė progresija su vardikliu . Ties , serija skiriasi (tai yra netiesioginis, nors ir ne griežtas įrodymas, kad galutinės būsenų tikimybės egzistuoja tik ties ). Dabar tarkime, kad ši sąlyga įvykdyta, ir susumavus progresą į (20.11), mes turime
(20.12)
Tikimybės randamos naudojant formules:
iš kur, atsižvelgdami į (20.12), galiausiai randame:
Kaip matote, tikimybės sudaro geometrinę progresiją su vardikliu . Kaip bebūtų keista, didžiausia iš jų yra tikimybė, kad kanalas apskritai bus nemokamas. Nesvarbu, kaip apkrauta sistema su eile, jei ji apskritai gali susidoroti su programų srautu, labiausiai tikėtinas programų skaičius sistemoje bus 0.
Raskime vidutinį paraiškų BRO skaičių. Čia turėsite šiek tiek padirbėti. Atsitiktinis dydis Z - programų skaičius sistemoje - turi galimas reikšmes su tikimybe
Jo matematinis lūkestis yra
(20.14)
(suma imama ne nuo 0 iki, o nuo 1 iki, nes nulinis narys yra lygus nuliui).
Į formulę (20.14) pakeiskime išraišką už
Dabar išsiregistruokime sumos:
Čia vėl pritaikysime „mažą gudrybę“: nėra nieko daugiau, kaip poros vedinys iš posakio reiškia,
Apversdami diferenciacijos ir sumavimo operacijas, gauname:
Tačiau suma formulėje (20.15) yra ne kas kita, kaip be galo mažėjančios geometrinės progresijos su pirmuoju nariu ir vardikliu suma; ši suma lygi ir jos išvestinei. Pakeitę šią išraišką į (20.15), gauname:
(20.16)
Na, dabar pritaikykime Litlo formulę (19.12) ir suraskime vidutinį programos buvimo sistemoje laiką:
Raskime vidutinį programų skaičių eilėje, samprotuosime taip: eilėje esančių programų skaičius yra lygus programų skaičiui sistemoje atėmus aptarnaujamų programų skaičių. Tai reiškia (pagal matematinių lūkesčių sudėjimo taisyklę), vidutinis paraiškų skaičius eilėje yra lygus vidutiniam paraiškų skaičiui sistemoje atėmus vidutinį aptarnaujamų programų skaičių. Aptarnaujamų užklausų skaičius gali būti nulis (jei kanalas laisvas) arba vienas (jei jis užimtas). Matematinis tokio atsitiktinio dydžio lūkestis yra lygus tikimybei, kad kanalas yra užimtas (pažymėjome ). Akivaizdu, kad jis lygus vienetui atėmus tikimybę, kad kanalas yra laisvas;
Todėl vidutinis aptarnaujamų užklausų skaičius yra
Apsvarstykite kelių kanalų QS (P> 1), kurio įvestis gauna Puasono užklausų srautą su intensyvumu ir kiekvieno kanalo aptarnavimo intensyvumas yra p, maksimalus galimas vietų skaičius eilėje ribojamas reikšme T. Atskiras QS būsenas lemia sistemos gautų prašymų skaičius, kurį galima užrašyti:
kv - visi kanalai nemokami, k = 0;
S- užimtas tik vienas kanalas (bet kuris), k = 1;
*5*2 – užimti tik du kanalai (bet kurie), k = 2;
S n– visi užsiėmę P kanalai, k = p.
Nors QS yra bet kurioje iš šių būsenų, eilės nėra. Kai visi paslaugų kanalai yra užimti, vėlesnės užklausos sudaro eilę, taip nustatant tolesnę sistemos būseną:
S n + - visi užsiėmę P kanalai ir viena programa yra eilėje, k = P + 1;
S n +2 – visi užsiėmę P kanalai ir dvi programos yra eilėje, k = P + 2;
S n+m - visi užsiėmę P lynai ir viskas T vietas eilėje k = n + m.
Būsenos grafikas ir kanalas SMO Su eilė, ribotas T kai kuriose vietose, parodyta pav. 5.18.
QS perėjimą į būseną su dideliu skaičiumi lemia gaunamų užklausų srautas, kurio intensyvumas
Ryžiai. 5.18
kadangi pagal sąlygas jie dalyvauja tenkinant šiuos prašymus P identiški kanalai, kurių paslaugų srauto intensyvumas lygus p kiekvienam kanalui. Tokiu atveju bendras paslaugų srauto intensyvumas didėja prijungus naujus kanalus iki šios būsenos Sn, kai visi P kanalai bus užimti. Atsiradus eilei, paslaugų intensyvumas nebedidėja, nes jis jau pasiekė maksimalią vertę, lygią tel.
Užrašykime būsenų ribojamųjų tikimybių išraiškas
Rho išraišką galima transformuoti naudojant geometrinės progresijos formulę terminų sumos vardikliu p /P:
Eilės formavimas galimas, kai naujai gauta programa randa bent sistemoje P reikalavimus, t.y. kada bus sistema p, p + 1, P + 2, (P + T- 1) reikalavimai. Šie įvykiai yra nepriklausomi, todėl tikimybė, kad visi kanalai bus užimti, yra lygi atitinkamų tikimybių sumai r yu Rp+bPp+2 > ->Рп+т- 1- Todėl eilės susidarymo tikimybė yra
Atsisakymo teikti paslaugą galimybė atsiranda, kai visi P kanalai ir viskas T vietos eilėje pilnos
Santykinis pralaidumas bus lygus
Absoliutus pralaidumas
Vidutinis užimtų kanalų skaičius
Vidutinis neveikiančių kanalų skaičius
Kanalo užimtumo (naudojimo) santykis
Kanalo prastovos koeficientas
Vidutinis paraiškų skaičius eilėse
jeigu r/p = 1, ši formulė yra kitokia:
Vidutinis laukimo laikas eilėje nustatomas pagal Litlo formules 
Vidutinis programos buvimo QS laikas, kaip ir vieno kanalo QS, yra didesnis nei vidutinis laukimo eilėje laikas vidutiniu aptarnavimo laiku, lygiu 1/p, nes programa visada aptarnaujama tik vienu kanalu:
5.21 pavyzdys. Minimarketas sulaukia šešių klientų per minutę intensyvumo klientų srauto, kuriuos aptarnauja trys kasininkės dviejų klientų intensyvumu per minutę. Eilės ilgis ribojamas iki penkių klientų. Nustatykite QS charakteristikas ir įvertinkite jos veikimą.
Sprendimas
n = 3; T = 5; X =6; p = 2; p =X/x = 3; r/p = 1.
Mes nustatome ribines QS būsenų tikimybes:
Kasininkų prastovų dalis
Tikimybė, kad tik vienas kanalas yra užimtas aptarnavimui
Tikimybė, kad aptarnaujant bus užimti du kanalai, yra
Tikimybė, kad visi trys kanalai yra užimti
Tikimybė, kad visi trys kanalai ir penkios vietos eilėje yra užimti
Atsisakymo teikti paslaugą galimybė atsiranda tada, kai k = t + n = = 5 + 3 = 8 ir yra р$ = р OTK = 0,127.
Santykinė ir absoliuti QS talpa yra atitinkamai vienoda K = 1 - r atvira= 0,873 ir L = 0,873A. = 5,24 (klientų/min.).
Vidutinis užimtų kanalų skaičius ir vidutinė eilės trukmė yra:
Vidutinis laukimo laikas eilėje n buvimo QS yra atitinkamai lygus:
Minimarket paslaugų sistema nusipelno daug pagyrų, nes vidutinė eilės trukmė ir vidutinis laikas, kurį klientas praleidžia eilėje, yra nedidelis.
5.22 pavyzdys. Transporto priemonės su vaisių ir daržovių produktais į vaisių ir daržovių sandėlį atvažiuoja vidutiniškai kas 30 minučių. Vidutinis vieno sunkvežimio iškrovimo laikas – 1,5 val.. Iškrovimą atlieka dvi krautuvų komandos. Bazės teritorijoje prie iškrovimo eilėje gali stovėti ne daugiau kaip keturios transporto priemonės. Nustatysime rodiklius ir įvertinsime QS veiklą.
Sprendimas
SMO dviejų kanalų, P= 2 su ribotu vietų skaičiumi eilėje m= 4, įeinančio srauto intensyvumas l. = 2 av/h, aptarnavimo intensyvumas c = 2/3 av/h, apkrovos intensyvumas p = A./p = 3, r/p = 3/2 = 1,5.
Mes nustatome QS charakteristikas:
Tikimybė, kad visi ekipažai nėra pakrauti, kai nėra transporto priemonių
Gedimo tikimybė, kai iškraunami du automobiliai, o eilėje – keturi automobiliai,
Vidutinis eilėje esančių automobilių skaičius
Krautuvėlių prastovų dalis yra labai maža ir siekia vos 1,58% darbo laiko, o atsisakymo tikimybė didelė – 36% gautų prašymų atsisakoma iškrauti, abi komandos beveik užimtos, užimtumo koeficientas artimas vienetui. ir lygus 0,96, santykinai pralaidumas mažas - bus aptarnauta tik 64% gautų prašymų, vidutinis eilės ilgis 2,6 automobilio, todėl SM O negali susidoroti su prašymų aptarnavimu įvykdymu ir būtina padidinti krautuvų komandų skaičių ir plačiau išnaudoti nusileidimo etapo galimybes.
5.23 pavyzdys. Prekybos įmonė ankstyvąsias daržoves iš priemiesčio valstybinio ūkio šiltnamių gauna atsitiktiniu laiku 6 vnt. intensyvumu. per dieną. Komunalinės patalpos, įranga ir darbo ištekliai leidžia apdoroti ir sandėliuoti produkcijos po 2 vnt. Įmonėje dirba keturi žmonės, kurių kiekvienas vidutiniškai vieno pristatymo produkciją gali apdoroti per 4 valandas.Darbo diena pamaininio darbo metu 12val.Koks turėtų būti sandėlio pajėgumas,kad pilnai apdirbtų produkciją turi sudaryti bent 97 % pristatytų siuntų skaičiaus?
Sprendimas
Išspręskime problemą nuosekliai nustatydami QS rodiklius skirtingoms atminties talpos reikšmėms T= 2, 3, 4, 5 ir tt ir palyginimas kiekviename aptarnavimo tikimybės su nurodyta verte skaičiavimo etape р 0 ()С = 0,97.
Nustatykite apkrovos intensyvumą:
Mes nustatome prastovos tikimybę arba laiko dalį t = 2:
Atsisakymo teikti paslaugą tikimybė arba prarastų prašymų dalis,
Įteikimo tikimybė arba įteiktų prašymų dalis iš gautų prašymų yra
Kadangi gauta vertė yra mažesnė už nurodytą reikšmę 0,97, tęsiame skaičiavimus T= 3. Šiai reikšmei QS būsenų rodikliai turi reikšmes
Paslaugos tikimybė šiuo atveju taip pat mažesnė už nurodytą reikšmę, todėl tęsiame skaičiavimus kitam t = 4, kurių būsenos rodikliai turi šias reikšmes: p$ = 0,12; Rotk = 0,028; Pofc = 0,972. Dabar gauta aptarnavimo tikimybės reikšmė atitinka problemos sąlygas, nes 0,972 > 0,97, todėl sandėlio talpa turi būti padidinta iki 4 vnt.
Norėdami pasiekti nurodytą aptarnavimo tikimybę, tokiu pat būdu galite pasirinkti optimalų žmonių, kurie perdirbs daržoves, skaičių, nuosekliai apskaičiuodami QS rodiklius n = 3, 4, 5 ir kt. Kompromisinį sprendimą galima rasti palyginus ir supriešinus įvairiems BRO organizacijų variantams išlaidas, susijusias tiek su darbuotojų skaičiaus didėjimu, tiek su specialios technologinės įrangos, skirtos daržovių perdirbimui, sukūrimu komercinėje įmonėje.
Taigi eilių modeliai kartu su ekonominiais užduočių nustatymo metodais leidžia analizuoti esamas QS sistemas, parengti rekomendacijas dėl jų pertvarkymo, siekiant pagerinti veiklos efektyvumą, taip pat nustatyti optimalų naujai kuriamų QS sistemų veikimą.
5.24 pavyzdys. Vidutiniškai per valandą į plovyklą atvažiuoja devyni automobiliai, tačiau jei eilėje jau stovi keturi automobiliai, naujai atvykę klientai, kaip taisyklė, nestoja į eilę, o pravažiuoja. Vidutinis automobilio plovimo laikas yra 20 minučių, o nuplauti yra tik dvi vietos. Vidutinė automobilio plovimo kaina yra 70 rublių. Nustatykite vidutinį pajamų praradimą už automobilio plovimą per dieną.
Sprendimas
X= 9 automobiliai/val.; = 20 min; p = 2; t = 4.
Apkrovos intensyvumo nustatymas 
Automobilių plovimo prastovų procento nustatymas
Nesėkmės tikimybė
Santykinė talpa yra lygi Absoliuti talpa Vidutinis eilėje esančių automobilių skaičius
Vidutinis aptarnaujamų programų skaičius
Vidutinis laukimo laikas eilėje
Vidutinis laikas, kurį automobilis praleidžia plovykloje
Taigi, 34% paraiškų nebus aptarnaujama, nuostoliai už 12 valandų darbo vieną dieną sieks vidutiniškai 2570 rublių. (12*9* 0,34 70), t.y. 52% visų pajamų, nes r atvira = 0,52 p 0 ^ s.
- santykinis pralaidumas arba aptarnavimo tikimybė, absoliutus pralaidumas, vidutinis užimtų brigadų skaičius, krautuvų brigadų užimtumas
- kanalo gedimo tikimybė, laisvo kanalo tikimybė, absoliutus pralaidumas;
- santykinis pralaidumas, vidutinis aptarnavimo laikas, vidutinis kanalo prastovos laikas.
Instrukcijos. Norėdami išspręsti tokias problemas internetu, pasirinkite QS modelį. Nurodykite paklausos srauto intensyvumas λ Ir paslaugų srauto intensyvumas μ. Vieno kanalo QS su ribotu eilės ilgiu galite nurodyti eilės ilgis m, o vieno kanalo QS su neribota eile - eilėje esančių programų skaičius (siekiant apskaičiuoti šių programų buvimo eilėje tikimybę). žr. sprendimo pavyzdį. . Gautas sprendimas išsaugomas Word faile.
Vieno kanalo eilių sistemų klasifikacija
1 pavyzdys. Yra automobilių degalinė vienas degalinė. Daroma prielaida, kad į stotį įvažiuoja paprasčiausias automobilių srautas, kurio intensyvumas λ=11 vagonų/val. Užklausos aptarnavimo laikas yra atsitiktinis kintamasis, kuris paklūsta eksponentiniam dėsniui, kurio parametras μ=14 transporto priemonių per valandą. Nustatykite vidutinį automobilių skaičių stotyje.
2 pavyzdys. Yra taškas atlikti profilaktinę mašinų apžiūrą su viena patikros grupe. Kiekvienos mašinos apžiūra ir defektų nustatymas užtrunka vidutiniškai 0,4 valandos. Vidutiniškai per dieną apžiūrai gauti 328 automobiliai. Užklausų ir paslaugų srautai yra patys paprasčiausi. Jeigu į apžiūros punktą atvažiavęs automobilis neranda laisvo kanalo, jis palieka apžiūrą neaptarnavęs. Nustatykite profilaktinio patikrinimo punkto sąlygų ir techninės priežiūros charakteristikų ribines tikimybes.
Sprendimas. Čia α = 328/24 ≈ = 13,67, t = 0,4. Šiuos duomenis reikia įvesti į skaičiuotuvą.
Įkeliama...
